Частное решение разностного уравнения

Частное решение разностного уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1


Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x). $$

Здесь $a_i$ — постоянные коэффициенты, $f(x)$ — правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ — искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$ y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120. $$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Основным методом отыскания решения неоднородного линейного разностного уравнения является следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 21.1. Общее решение уравнения (21.3) является суммой его частного решения У и общего решения (21.10) соответствующего однородного уравнения (21.8):

Для нахождения общего решения неоднородного линейного разностного уравнения (21.3) разработан метод вариации постоянных, во многом аналогичный методу для дифференциальных уравнений. Однако этот метод достаточно громоздкий, и во многих случаях проще подобрать частное решение Y(i) неоднородного уравнения или «угадать* такое решение по виду правой части /(/).

Определение 6. Уравнение вида

где ап, ап _ м . » а0 — действительные числа, называется разностным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции у, определенной на некотором множестве целых чисел /.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

Будем искать частные решения этого уравнения в виде и (i) = q где q — число, подлежащее определению. Подставляя u(i) в уравнение (21.12) вместо у(/), получаем:

Мы ищем ненулевое решение, тогда, сокращая обе части этого уравнения на q‘> получим уравнение для q:

Такое уравнение называется характеристическим уравнением для однородного уравнения (21.13). Корни характеристического уравнения соответствуют линейно независимым решениям уравнения (21.13).

Рассмотрим каждый возможный случай корней характеристического уравнения.

1. Пусть уравнение (21.14) имеет п разных простых корней qv qv . qn. Тогда функции

являются линейно независимыми решениями уравнения (21.13). Иными словами, общее решение уравнения (21.12) согласно свойству 2 и формуле (21.10) имеет вид:

где С,, С2, Сп — произвольные постоянные.

2. Пусть среди корней характеристического уравнения (21.14) имеются комплексно-сопряженные корни вида а ± р/* (в данном случае введем обозначение мнимой единицы /* = >/—Т). Тогда этим корням соответствуют линейно независимые решения уравнения (21.13) вида

где риф — соответственно модуль и аргумент комплексного корня.

3. Если характеристическое уравнение (21.14) имеет действительный корень qm кратности г, то ему соответствуют г линейно независимых решений уравнения (21.13) вида

4. Наконец, если характеристическое уравнение (21.14) имеет комплексно- сопряженный корень (см. п. 2), кратность которого равна г, то ему соответствуют 2г линейно независимых решений уравнения (21.13) вида

Рассмотрим несколько примеров решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 3. Найти flfillirft IVMIIffHMft ПЯ’ШЛГТНПГО УПЯИНРНИЯ

Решение. Это однородное уравнение второго порядка; его характеристическое уравнение имеет простые корми qx = 2 и q2 = 5. Согласно п. 1 общее решение данного уравнения имеет вид:

Пример 4. Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет постоянные коэффициенты, а его характеристическое уравнение

— два простых корня: / + 2 — ЗС • 5 / + 1 — 4С • 5′ = 6 • 5′, или 25С -5′ — I5C • • 5′ — 4С • 5′ = 6 • 5 1 , откуда С — 1. Таким образом, общее решение заданного уравнения как сумма его частного решения и общего решения однородного уравнения имеет вид:

где Cj и С2 — произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение. Это неоднородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Найдем его частное решение в виде постоянной величины Y= С; подстановка в уравнение дает: С = -2. Характеристическое уравнение четвертого порядка

имеет корень q <= 2 кратности три и простой корень q2 = -3. Следовательно, в силу п. 3 общее решение данного уравнения имеет вид:

где С,, С2, С3, С4 — произвольные постоянные.

Пример 6. Найти решение задачи Коши для уравнения четвертого порядка с заданными начальными условиями:

Решение. Характеристическое уравнение

имеет два комплексно-сопряженных корня кратности два каждый:

Тогда в соответствии с п. 4 общее решение данного однородного уравнения имеет вид:

Теперь найдем частное решение — решение задачи Коши, для чего подставим найденное общее решение в заданные начальные условия. Получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин С,, С2, Су С4:

Решая эту систему, находим: С2 = 1, С3 = 1, С4 = -1. Окончательно решение задачи Коши имеет вид:

Пример 7. Найти решение краевой задачи для однородного уравнения третьего порядка

при следующих краевых условиях:

Решение. Характеристическое уравнение

Ссылка на основную публикацию
Хранение машины в гараже плюсы и минусы
От того, в каких условиях хранится автомобиль, во многом зависит его техническое состояние, а также внешний вид, а при желании...
Фартуки для кухни отзывы какие лучше брать
Сегодня поговорим о самых популярных материалах для оформления рабочей зоны, сравним их и выясним какой же материал лучше всего подойдет...
Фейк ава в вк парня
Фото девушек на аву Фото девушек на аву Здесь вы можете найти для себя много реальных фото на аву красивых...
Хранилище игр на пк
Играй в любимые игры на любом компьютере без лагов и тормозов Играй в крутые игры Как работает Loudplay Мы предоставляем...
Adblock detector