Чему равна площадь полной поверхности призмы

Чему равна площадь полной поверхности призмы

Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в

параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с

этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого

являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.

Призма является разновидностью цилиндра.

Элементы призмы.

конгруэнтными многоугольниками, которые лежат

в плоскостях, параллельных друг другу.

Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая

из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это

Боковая поверхность – сумма боковых граней.

Полная поверхность – сумма основания и боковой

Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он

перпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также

Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной

боковому ребру призмы.

Свойства призмы.

  • Основания призмы – это равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
  • Боковые ребра призмы параллельные и равны.
  • Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

  • Площадь боковой поверхности прямой призмы:

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.
  • Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

где V — объем призмы,

So — площадь основания призмы,

h — высота призмы.

Привальная четырехугольная пирамида.

Свойства правильной четырехугольной призмы.

  • Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;
  • Верхнее и нижнее основания параллельны;
  • Боковые грани имеют вид прямоугольников;
  • Все боковые грани равны между собой;
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям;
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны;
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;
  • Углы перпендикулярного сечения — прямые;
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Виды призм.

Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.

Остальные призмы являются наклонными.

Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые

грани такой призмы — одинаковые прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется

полуправильным многогранником.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь. И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать — к делу!

Определение призмы

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы

Главная формула объема призмы:

где — площадь основания,

Необычная формула объема призмы:

где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

— длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

А теперь подробнее.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
  • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро — прямоугольники.

У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

— площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

— длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна , боковое ребро равно .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Объем правильной шестиугольной призмы

Что же такое ? Как найти?

Смотри: шестиугольник состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

, где — периметр основания.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит .

— это уже выводили при подсчёте объёма.

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

  • Призма, основанием которой является параллелограмм , называется параллелепипедом .
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • Главная формула объема призмы :
    ,
    где — площадь основания,
    — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
    ,
    где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
    — длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
    .

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему?

Напиши внизу, в комментариях.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Призма — многогранник, две параллельные грани которого ( основания ) n−угольники, а остальные n граней ( боковые ) — параллелограммы. Очевидно, что все боковые ребра призмы равны, и в основаниях — равные n−угольники с соответственно параллельными сторонами.

Боковыми ребрами называются отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Призма называется прямой, если ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.1

Призма называется наклонной, если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.2

Правильная призма — прямая призма, основания которой являютя правильными многоугольниками.

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех её граней. Площадь полной поверхности ( Sполн ) выражается через площадь боковой поверхности ( Sбок ) и площадь основания призмы формулой: Sполн=Sбок+2Sосн .

Площадь боковой поверхности призмы ( Sбок ) — сумма площадей её боковых граней.

Имеют место формулы : Sбок = Pl; V = Sосн · H , где Sбок — площадь боковой поверхности призмы, P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра, V — объем, Sосн — площадь основания, H — высота призмы.

Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру призмы, называется нормальным (ортогональным) сечением призмы.

Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы.

Пример 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1 правильный шестиугольник призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Ссылка на основную публикацию
Хранение машины в гараже плюсы и минусы
От того, в каких условиях хранится автомобиль, во многом зависит его техническое состояние, а также внешний вид, а при желании...
Фартуки для кухни отзывы какие лучше брать
Сегодня поговорим о самых популярных материалах для оформления рабочей зоны, сравним их и выясним какой же материал лучше всего подойдет...
Фейк ава в вк парня
Фото девушек на аву Фото девушек на аву Здесь вы можете найти для себя много реальных фото на аву красивых...
Хранилище игр на пк
Играй в любимые игры на любом компьютере без лагов и тормозов Играй в крутые игры Как работает Loudplay Мы предоставляем...
Adblock detector