Числовая функция одной переменной определение

Числовая функция одной переменной определение

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x называют y = f(x).

Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x Î D(f) и f(x) Î E(f).

2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f(x).

Например: , где D(y) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.

Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).

Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

(линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.

y = (степенная функция), α ÎR, E(y), D(y) зависят от α.

y = (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.

y = sin x, D(y) = R, E(y) = .

y = cos x, D(y) = R, E(y) = .

y = tg x, D(y) = , E(y) = R.

y = ctg x, D(y) = , E(y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D(y) = , E(y) = .

y = arccos x, D(y) = , E(y) = .

y = arctg x, D(y) = R, E(y) = .

y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

y = arcsin x Рис. 1 y = arccos x Рис. 2
y = arctg x Рис. 3 y = arcctg x Рис. 4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Предел функции в конечной точке x

Определение 1.Окрестностью точки xназывается любой интервал, содержащий точкуx:

.

Определение 2. d-Окрестностью точки xназывается интервал ( ; ), длина которого 2d, симметричный относительно x:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x называется d-окрестность точки x без самой точки x:

Определение 4.Число А называется пределом функции f(x) при x ® x, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак: и .

Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x, т.е. , справедливо неравенство: .

Читайте также:  Найти книгу по фразе

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x, предел равный А, то существуют и и справедливо равенство:

.

Замечание 2.Если f(x) имеет в точке x правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f(x) имеет предел, равный числу:

.

Замечание 3.Если f(x) имеет в точке x правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x функция f(x) не имеет предела.

Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .
В этом случае х называется аргументом, а у — значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y — множеством значений функции.
Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5 или . Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

Функцияю можно так же задать графиком — Графиком функции у — f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).

Основы возрастной педагогики

Белкин Август Соломонович

Редактор Л.И. Хлопова

Компьютерная верстка: Р.Ю. Волкова

Технический редактор Е.Ф. Коржуева

Корректоры Э.Г. Юрга, Л.Б. Орловская

Подписано в печать 23.06.2000. Формат 60 х 90/16. Гарнитура «Таймс».

Печать офсетная. Бумага газетная. Усл. печ. л. 12,0. Тираж 30000 экз. (1-й завод 1-10000 экз.). Заказ № 2701.

Лицензия ИД № 02025 от 13.06.2000. Издательский центр «Академия».

105043, Москва, ул. 8-я Парковая, 25. Тел./факс: (095) 165-4666, 367-0798, 305-2387.

Отпечатано на Саратовском полиграфическом комбинате.

410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

I Определение

Рассмотрим две переменные величины x и y . Если по некоторому правилу или закону каждому значению переменной величины x поставлено в соответствие одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y есть функция от x и пишут: y=f(x) или y=y(x).

Используемая терминология: x – аргумент, y – функция; x – независимая переменная, y – зависимая переменная.

В обозначении y=f(x) буква f является характеристикой функции и символизирует правило, о котором говорится в определении. Если рассматриваются разные функции, то их характеристики обозначаются разными буквами. И вообще, любая запись вида u=g(v) означает, что переменная u есть некоторая функция переменной v.

II Способы задания функции

Задать функцию означает задать правило (закон) соответствия. Наиболее употребительным является задание этого правила с помощью одной или нескольких формул, содержащих указание на те операции или действия над постоянными числами и над значениями аргумента x, которые необходимо произвести, чтобы получить соответствующее значение функции y. При этом различают три варианта этого т.н. аналитического способа задания:

1) явный, например, или

2) неявный, например, (переменные x и y связаны некоторым уравнением вида F(x, y)=0);

3) параметрический, например, (переменные x и y заданы как явные функции вспомогательной переменной – параметра t).

На практике часто используют табличный способ задания функции, когда задаются таблица отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Существуют методы позволяющие вычислить (приближенно!) значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента, а также подобрать формулу, задающую функцию с определенной точностью.

Весьма распространенным, особенно в экспериментальных науках, является графический способ задания функции, при котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством некоторой линии в системе координат xOy.

Читайте также:  Сколько стоит приложение в плей маркете

Используют в математике и словесный способ задания, когда функция описывается правилом её составления. Такова, например, функция y=[x]: “ есть целая часть x”, т.е. наибольшее целое, не превосходящее числа x. Наряду с целой частью, рассматривают и функцию дробная часть числа: <x>=x-[x]. Примеры:

III Область определения и область значения функции

Множество D(y) тех значений аргумента x, для которого определены соответствующие значения функции y=f(x), называют областью определения функции. При нахождении области определения функции, заданной аналитически, необходимо иметь в виду следующее:

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то ;

4) если , то .

Множество E(y) тех значений зависимой переменной , которые она принимает, когда зависимая переменная пробегает D(y), называют областьюзначений функции.

Для основных элементарных функций (см. ниже) области значений известны. В общем же случае для нахождения E(y) требуется исследование функции с помощью производных.

IV График функции

В математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрации прибегают всегда.

Графиком функции y=f(x) называют множество точек (координатной плоскости xOy) вида

.

В простых случаях график функции y=f(x) – это некоторая кривая, обладающая следующим свойством: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает эту кривую не более чем в одной точке. При этом запись y=f(x) называют уравнением этой кривой.

Существуют функции, графики которых изобразить невозможно. Примером может служить функция Дирихле:

V Действия над функциями

Функция – это правило соответствия. Что же тогда означает, например, сумма двух правил f и g? Это новое правило (f+g), которое действует следующим образом: (f+g)(x)=f(x)+g(x). Аналогично определяются и остальные арифметические операции над функциями. Другими словами, все арифметические действия над функциями выполняются поточечно.

Кроме арифметических операций, имеется еще операция суперпозиции (наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. Например, суперпозиция функций и дает функцию .

В общем случае, если y=F(z), а z=j(x), то переменная y, через посредство переменной z, сама является функцией от x: y=F(j(x)). Результат суперпозиции функций называется «функция от функции» или «сложная функция».

Следует подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой зависимости у от х, а лишь со способом задания этой зависимости. Например, пусть , а , . Тогда . Здесь основная элементарная функция sinx оказалась заданной в виде суперпозиции двух функций.

Отметим, что в математическом анализе рассматриваются и другие операции над функциями, как то: предельный переход, дифференцирование, свертка и т.п. В таких операциях для вычисления значения функции-результата в одной точке мало знать значения функций-операндов в этой точке. Например, чтобы вычислить в точке x, необходимо знать f(x) в некоторой окрестности этой точки.

VI Элементы поведения функции

К элементам поведения принято относить такие свойства функций как четность-нечетность, периодичность, монотонность и ограниченность.

1) Пусть область определения функции y=f(x) симметрична относительно нуля. Тогда: а) f(x) называется четной, если f(-x)=f(x); б) f(x) называется нечетной, если (указанные соотношения должны выполняться для любого x из D(y)).

Примеры четных функций: y=cosx, y=x 2 +1, y=xsinx. Примеры нечетных функций: y=sinx, y=x 3 , y=x 2 tgx.

Графики четных и нечетных функций обладают полезным свойством – симметрией: график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной симметричен относительно начала координат.

Читайте также:  Встраиваемая посудомоечная машина топ лучших 2018

Любую функцию общего вида (т.е. не являющуюся ни четной, ни нечетной) можно представить в виде суммы четной и нечетной функции:

, где — четная, а — нечетная.

2) Пусть область определения D(y) функции y=f(x) такова, что со всяким x из D(y), точки x+T и x-T также принадлежат D(y). Функция y=f(x) называется периодической, если для любого выполняется равенство . При этом число называется периодом.

Примерами периодических функций служат тригонометрические функции, а также y=<x> – дробная часть числа x.

3) Если для любых двух значений аргумента x1,x2, принадлежащих промежутку |a,b| из неравенства x1>x2 следует:

а) , то f(x) называется возрастающей на |a,b|;

б) , то f(x) называется убывающей на |a,b|;

в) , то f(x) называется неубывающей на |a,b|;

г) , то f(x) называется невозрастающей на |a,b|.

Функции всех этих типов принято называть монотонными [в случаях а) и б) уточняют – «строго монотонные»]. Иногда удобно и неубывающую (невозрастающую) функцию называть возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Примеры. а) y=x 2 возрастает на (0, +¥) и убывает на (-¥, 0); б) y=x 3 всюду на R возрастает; б) y=arcсos x убывает на D(y)=[-1,1].

4) Если для любого из промежутка |a,b| существует число такое, что:

а) , то f(x) называется ограниченной сверхуна |a,b|;

б) , то f(x) называется ограниченной снизуна |a,b|;

в) M>0, , то f(x) называется ограниченной на |a,b|.

Примеры: а) y=arctg x – ограниченная; б) y=2 x – ограниченная снизу.

VII Обратная функция

Функцию y=f(x) называют обратимой на промежутке |a,b|, если любое свое значение она принимает не более чем в одной точке этого промежутка; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.

Пусть обратимая функция y=f(x) задана на промежутке |a,b| и пусть E(y)=|A,B|. Каждому yÎ|A,B| поставим в соответствие то единственное значение xÎ[a,b], для которого f(x)=y. Тем самым на |A,B| будет определена функция , которую называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Отметим, что если — обратная для y=f(x), то и функция y=f(x) является обратной для . Поэтому, эти две функции часто называют взаимно обратными. Такие функции обладают очевидными свойствами:

.

Графики взаимно обратных функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е. вместо рассматривать функцию . Графики такой пары функций y=f (x) и симметричны относительно прямой y=x.

Можно доказать, что всякая строго монотонная функция имеет обратную, причем с тем же направлением монотонности.

Алгоритм нахождения обратной функции для функции y=f(x) следующий:

1) убедиться, что y=f(x) обратима (например, монотонная);

2) решить уравнение y=f(x) относительно x;

3) в полученном равенстве поменять местами x и y.

Пример.Найдем обратную функцию для функции (т.н. синус гиперболический).

а) Проверим монотонность. Пусть x1>x2. Тогда .

Функция y=e x – возрастающая, поэтому разность в первой скобке положительна, а y=e — x – убывающая, поэтому вторая разность – отрицательна. Значит , т.е , т.е. y= shx – возрастающая функция, следовательно, обратимая.

б) Решим уравнение y=shx относительно x:

– не подходит, ибо

Итак, , т.е. .

в) Поменяв местами x и y, получим искомую обратную функцию:

.

Дата добавления: 2014-11-08 ; Просмотров: 3265 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Хранение машины в гараже плюсы и минусы
От того, в каких условиях хранится автомобиль, во многом зависит его техническое состояние, а также внешний вид, а при желании...
Фартуки для кухни отзывы какие лучше брать
Сегодня поговорим о самых популярных материалах для оформления рабочей зоны, сравним их и выясним какой же материал лучше всего подойдет...
Фейк ава в вк парня
Фото девушек на аву Фото девушек на аву Здесь вы можете найти для себя много реальных фото на аву красивых...
Хранилище игр на пк
Играй в любимые игры на любом компьютере без лагов и тормозов Играй в крутые игры Как работает Loudplay Мы предоставляем...
Adblock detector