Что означает модуль в алгебре

Что означает модуль в алгебре

Модуль числа

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля , %200" />
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
8.

Геометрический смысл модуля

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.

|x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: и .

Решим неравенство: |x + 7| Пример 3.

Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x Высшая математика

Числовая прямая

Начинать изучение модуля нужно с понятия числовой прямой и вектора. Числовая прямая – это прямая, на которой отмечено направление движения, точку 0 и указан размер единичного отрезка

На числовой прямой можно отметить любое из действительных или комплексных чисел. Вне зависимости от подмножества, величины числа и его дробной части. Прямая бесконечна, а потому вмещает в себя абсолютно любые числа.

Числовую прямую часто использую для сравнения разного рода чисел. Если отметить на прямой два числа, то число, лежащее правее будет больше, а левее меньше.

Вектор – это направленный отрезок. Это значит, что у вектора две характеристики: направление и размер самого отрезка. Вектора можно складывать между собой по правилу многоугольника или параллелограмма и умножать с помощью специальной формулы.

Любое число, отмеченное на числовой прямой, создает вектор, соответствующий этому числу. Направление вектора указывается с помощью знака числа. Положительные числа сонаправлены с числовой прямой, отрицательные – направлены противоположно.

Модуль

Если каждое число можно отметить на числовой прямой, то каждому числу соответствует свой вектор.
У вектора три возможных состояния:

  • Положительное число и вектор, сонаправленный с числовой прямой.
  • Отрицательное число и вектор, направленный в противоположную числовой прямой сторону.
  • Число ноль и ноль вектор, когда у вектора направления нет.

Модулем зовется размер отрезка вектора. То есть, если к числу ставится знак модуль, то у вектора убирается параметр направления. В геометрии это необходимо для нахождения произведений векторов и вообще любых алгебраических действий с векторами. В примере не получится прописать и учесть направление, поэтому и был придуман модуль.

В алгебре модуль числа означает, что в вычислениях берется только размер отрезка без учета направления. На практике это значит, что модуль превращает:

  • Положительное число в положительное.
  • Отрицательное число в положительное.
  • Ноль в ноль.

Возникает вопрос, а почему отрицательное число становится положительным? Знак минус это просто указание направления вектора. Не больше и не меньше. А знак модуль убирает параметр направления. Разве может быть размер отрезка отрицательным? Конечно, нет. Поэтому модуль отрицательного числа всегда число положительное.

Почему модуль нуля это ноль? Потому что вектор нуля это точка. А какие размеры могут быть у точки? Правильно – никаких. Поэтому модуль числа ноль это ноль.

Что мы узнали?

Мы дали определение модуля числа. Поговорили о числовой прямой и векторе. Узнали, что каждому числу соответствует свое значение на числовой прямой. Отрезок от точки нуля до точки числа на числовой прямой представляет собой вектор этого числа. Сказали о том, что длинна этого отрезка и есть модуль. Рассказали, что модуль не может быть отрицательным, потому что длина отрезка не бывает отрицательной. Отдельно поговорили о модуле числа ноль. Сказали, что вектор числа ноль это точка, а точка не может иметь размеров. Поэтому модуль нуля равен нулю.

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

  1. Для примера можно взять координатную прямую и на ней нанести 2 произвольные точки. Допустим, одна из точек (А) будет иметь числовое значение 5, а вторая (В) — 6.
  2. Если рассмотреть полученный чертёж, можно увидеть, что точка, А находится на расстоянии 5 единиц от нуля (начала координат). Точка В находится от нуля на 6 единиц. Таким образом, модулем точки, А будет число 5, а модулем точки В — число 6.
  3. В этом случае графическое обозначение выражения будет следующим: | 5 | = 5.
  4. Иными словами, если взять любое произвольное число и обозначить его на координатной прямой в виде точки А, то расстояние от нуля до этой точки и будет модулем числа А.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

  1. Модулем любой цифры является величина неотрицательная. Таким образом, абсолютным значением положительной величины будет выступать она сама. Графически эта закономерность выражается следующим образом: |a| = a, если a> 0.
  2. Модули противоположных величин равны друг другу Это объясняется тем фактом, что на координатной прямой противоположные числа хотя и располагаются в разных точках, но находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки отсчёта. Графически это выражается как: |а| = |-а|.
  3. Третьим свойством является то, что абсолютным значением нуля равняется сам нуль. Это условие считается верным в том случае, когда действительное число является нулем. Поскольку нулю соответствует начало отсчета в системе координат, то модулем числа ноль является сам ноль по определению. Графически: |0| = 0|.
  4. Еще одним важным свойством является то, что абсолютное значение произведений двух любых действительных чисел равняется произведению двух этих величин. Это условие необходимо рассмотреть более подробно. Иначе говоря, абсолютным значением произведения величин, А и В будет АВ в случае если оба этих значения положительные или же оба отрицательные, или -АВ при условии, что одно из этих чисел будет отрицательным. В записи эта закономерность будет выглядеть следующим образом: |А*В| = |А| * |В|.
  5. Абсолютная величина суммы любых двух действительных чисел меньше или равна сумме их модулей.
  6. Абсолютная величина разности двух произвольных величин меньше или равна разности двух абсолютных величин.
  7. Если в математическом выражении имеется постоянный положительный множитель, его можно выносить за знак | |.
  8. Такое же правило распространяется и на показатель степени выражения.

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.

5-А, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если виснет браузер
Автор Юрий Белоусов · 18.03.2019 Пользователи могут столкнуться с неприятной ситуацией, когда браузер Опера зависает, виснет, подвисает, тормозит, лагает, глючит....
Хранение машины в гараже плюсы и минусы
От того, в каких условиях хранится автомобиль, во многом зависит его техническое состояние, а также внешний вид, а при желании...
Хранилище игр на пк
Играй в любимые игры на любом компьютере без лагов и тормозов Играй в крутые игры Как работает Loudplay Мы предоставляем...
Что делать если винда 10 не запускается
В нашей сегодняшней статье будет рассмотрен ряд случаев, связанных с отказом запуска операционной системы Windows 10 на компьютере или ноутбуке....
Adblock detector