Что такое дифференцирование в математике

Что такое дифференцирование в математике

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$, то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно $Delta x$ и нелинейного членов:

$Delta y=f^<prime>(x) cdot Delta x+alpha(Delta x) cdot Delta x$

где $alpha(Delta x)
ightarrow 0$ при $Delta x
ightarrow 0$.

Дифференциалом функции называется линейная относительно $Delta x$ часть приращения функции. Она обозначается как $d y$ или $d f(x)$. Таким образом:

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь — отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке $x_<0>$ равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента $Delta x$.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Дифференцирование (алгебра)" в других словарях:

Дифференцирование алгебры Ли — В математике дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием унарной операцией, удовлетворяющей правилу Лейбница. Естественный пример дифференциального поля поле рациональных… … Википедия

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — алгебра А над полем (кольцом) К, являющаяся дифференциальным кольцом;. при этом каждое дифференцирование ддолжно коммутировать с умножениями на элементы из К, т. е. д(aх) aд(х), где О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Читайте также:  Замена термопасты под крышкой процессора intel

Дифференциальная алгебра — Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля поле рациональных… … Википедия

ЛИ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — а л г е б р а Л и группы Л и G, определенной над полем k, полным относительно нек рого нетривиального абсолютного значения, алгебра Ли группы G, рассматриваемой как Ли локальная группа. Таким образом, как векторное пространство отождествляется с… … Математическая энциклопедия

КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т … Математическая энциклопедия

ЛИ АЛГЕБРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — аналог Ли алгебры аналитической группы, относящийся к случаю аффинных алгебраич. групп. Как и в аналитич. случае, Ли а. а. г. Gесть касательное пространство к б в единице, а структура алгебры Ли определена в нем с помощью левоинвариантных… … Математическая энциклопедия

ЛИ p-АЛГЕБРА — ограниченная алгебра Ли, алгебра Lнад полем kхарактеристики р>0 (или, более общо, над кольцом простой характеристики р>0), снабженная р отображением таким, что выполняются следующие соотношения: Здесь внутреннее дифференцирование алгебры L … Математическая энциклопедия

Компьютерная алгебра — область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для нее, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить четкие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы, слишком… … Википедия

Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем "Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента". Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем. Функция это некая величина, которая меняется в некоторой зависимости от другой величины — аргумента. Таким образом производная показывает нам во сколько раз функция изменяется быстрее (или медленнее), чем аргумент. Теперь уточним что такое "приращение". Вообще производная это отношение дифференциалов, а дифференциал некоторой величины это бесконечно малое ее изменение, то есть разница между некоторым начальным и конечным значением, только эти значения мы берем максимально близко друг к другу, как бы изучая изменение функции на каждом максимально маленьком ее участке. Самое очевидное приложение в естественно научной области это описание зависимости изменения расстояния, пройденного некоторым объектом от времени. Разделив бесконечно малое изменение расстояния на соответствующий ему бесконечно малый момент времени (dS/dt, где буква d обозначает что мы берем не абсолютные величины а дифференциалы) мы получим так называемую мгновенную скорость, то есть скорость, которую имел объект в конкретный момент времени. Естественно что эта скорость в другой момент времени может отличаться и тут уже находит свое приложение интеграл. Интегрируя какое то дифференциальное уравнение мы проводим суммирование по некоторой переменной. Обращаясь к нашему примеру со скоростью проинтегрировав по dt в определенных пределах (эти пределы это тоже значения времени но уже не бесконечно близко стоящие друг к другу а какие то реальные, пусть от 0 секунд до 60, например) мы получим среднюю скорость объекта, которую он имел на протяжении этой минуты. Приложение дифференциалов и интегралов в естественных науках невероятно велико и данный пример с скоростью движения просто простейшая иллюстрация, переоценить вклад этого математического аппарата в естественные науки невозможно.

Читайте также:  Как подтвердить ipad на другом устройстве

Вообще дифференциально-интегральные исчисления это огромная часть математики именуемая математическим анализом, она несет в себе гораздо гораздо больше чем я написал, это целые курсы лекций как на естественно-научных специальностях, так и на непосредственно математических. Добавлю так же что описное мной выше станет гораздо понятнее если обратится к какому нибудь учебнику, наверное даже, по школьной физике или математике, в котором будут графики зависимости расстояния от времени и на них будут схематично изображены дифференциалы, там же должны быть приведены схожие с моими рассуждения.

Только вот дифференциал функции это не ее "бесконечно малое изменение", а линейная по аргументам часть ее изменения. А то частные производные уже не получится построить.

Ну, просто я пытался объяснить максимально просто, а вдаваться в функции нескольких переменных — значительно усложнить материал.

Максим, огромное спасибо за ответ. Я наконец поняла разницу и смысл. При том, что мучаю учебник матанализа не первый месяц. Респектище. Вы суперпонятно умеете объяснять. Это дар.

Максим, а можете также понятие первообразной так же понятно разложить?

аааааа не понимать лунный язык

Выучи наш лунный язык,

Научись играть на трубе

И живи по полному каждый миг

Так бы я писал самому тебе

Слава Богу, химик а не математик. Тогда понятно. Производная это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда последний стремится к нулю. И все преподаватели обращали внимание на то, чтобы мы не делали ошибки и не упускали из определения слово ПРЕДЕЛ.

Ссылка на основную публикацию
Что такое asus vibe
Файл asusvibe2.0.exe из ASUSTeK Computer Inc является частью AsusVibe2 0. asusvibe2.0.exe, расположенный в c:program files (x86)asusasusvibeasusvibe2.0.exe с размером файла 924336...
Что делать если виснет браузер
Автор Юрий Белоусов · 18.03.2019 Пользователи могут столкнуться с неприятной ситуацией, когда браузер Опера зависает, виснет, подвисает, тормозит, лагает, глючит....
Что делать если винда 10 не запускается
В нашей сегодняшней статье будет рассмотрен ряд случаев, связанных с отказом запуска операционной системы Windows 10 на компьютере или ноутбуке....
Что такое elm agent на андроид
Практически каждый пользователь мобильных устройств, рано или поздно, пытается разобраться в настройках, просматривать установленные приложения и сервисы. При просмотре списка...
Adblock detector