Что значит невырожденная матрица

Что значит невырожденная матрица

Определение.Квадратная матрица А называется невырожденной, если её строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

Условие невырожденности квадратной матрицы А порядка п, как нетрудно видеть, равносильно тому, что ранг матрицы А равен п.

Теорема.Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Теорема. Квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда её определитель .

Нахождение ранга матрицы

Ранг матрицы находят либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор k-го порядка матрицы , отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор , т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

3. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений

Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными (матрица системы A – квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю: .

Нахождение обратной матрицы

Теорема. Если , то матрица

является обратной для А, где матрица называется присоединённой для А.

Пример.Проверить, что матрица

является невырожденной, и найти

Решение.

Простейшие матричные уравнения

где – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют собой матрицы одинаковых размеров.

Решение уравнений (1)-(3) возможно с помощью обратных матриц в случае невырожденности матриц при Х. В общем случае матрицу Х записывают поэлементно и проводят указанные в уравнении действия над матрицами. В результате получают систему линейных уравнений. Решив систему, находят элементы матрицы Х.

Тема 2. Системы линейных уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Здесь числа ( ; ) называются коэффициентами системы; свободными членами; неизвестными.

Матричная запись системы

, где

— матрица коэффициентов при переменных,
— матрица-столбец переменных,
— матрица столбец свободных членов.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Если же у системы есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю. В противном случае, систему называют неоднородной.

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Вопрос о разрешимости системы линейных уравнений в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Пусть ; перменных называют основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные называются неосновными или свободными.

Решение системы, в котором все неосновных переменных равны нулю, называются базисным.

Т.к. каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более . Таким образом, совместная система т линейных уравнений с п переменными (т

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

A=

Эта матрица называется невырожденной, если ∆≠0, в противном случае ∆=0 и матрица – вырожденная.

Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А -1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

A=, причем ∆≠0

Рассмотрим квадратную матрицу А * ,называемую союзной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элемента ij данной матрицы А (определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

A * =

И найдем произведение А на А *

AA*==

=

Используя свойства 6) и 7 получим)

= == (1)

Аналогично можно показать, что (2).Равенство (1) и (2) можно записать в виде:

и

Сравнивая эти выражения с определением обратной матрицы, получим: A -1 =

Свойства обратных матриц:

1)

2)

3)

2. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m×n.

A=

В этой матрице вычеркиванием, каких либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k ≤ min (m,n). Все такие определители, как мы говорили ранее, называются минорами. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A, очевидно, что 0 ≤ r min (m,n).

Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, так же называются базисными. В курсе алгебры важную роль играет теорема о базисном миноре, которую мы приведем без доказательства.

Теорема: Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией её базисных строк (столбцов).

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример: Найти ранг матрицы

A=

Решение: Все миноры 3-го порядка равны 0. Есть минор 2=го порядка отличный от 0 ≠-15. Значит r (A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки, c 1 и 3 столбцом.

Отметим свойства ранга матрицы:

При транспортировании матрицы её ранг не маняется.

Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали, что используется для вычисления ранга матрицы.

II. Система линейных уравнений.

1. Основные понятия

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

Здесь aij и bj – произвольные числа (i=1,2,3…m; j=1,2,3…n) которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений.

Такую систему можно записать более кратко с помощью знаков суммирования.

Или в матричной форме: А × Х = В

Здесь А – матрица коэффициентов системы называемая основной матрицей.

n

X = вектор-столбец у неизвестных xj; B = вектор-столбец из свободных членов bi.

Х и В представляют собой векторы столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы состоящие соответственно из n и m строк и одного столбца.

Произведение матрицы А×Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (п – штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица Ā системы дополняемая столбцом свободных членов.

Решением системы называется п значений неизвестных xj=cj где , при подстановке которых все уравнения системы превращаются в верное равенство (тождество). Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система совместная называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, ели она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему это, значит, выяснить, совместна она или нет. Если система совместна, то найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже общее решение. Другими словами системы эквивалентны, если каждое решение одной является решением другой и наоборот.

Эквивалентные системы получаются в частности при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0.

невырожденная матрица — неособенная матрица — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] невырожденная матрица Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость векторов).… … Справочник технического переводчика

Невырожденная матрица — [non singular matrix] квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость век­торов). Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная … Экономико-математический словарь

невырожденная матрица — neypatingoji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non singular matrix; regular matrix vok. nichtausgeartete Matrix, f; nichtsinguläre Matrix, f; reguläre Matrix, f rus. невырожденная матрица, f; неособенная матрица, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas

НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА — неособенная матриц а, квадратная матрица, определитель к рой отличен от нуля. Для квадратной матрицы Анад полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий: 1)A обратима; 2) строки (столбцы) матрицы Алинейно независимы; 3)… … Математическая энциклопедия

МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Обратная матрица — Обратная матрица такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для… … Википедия

ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия

Вырожденная матрица — Вырожденной или сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю. Эквивалентные условия вырожденности Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности: Строки или столбцы матрицы … Википедия

Ссылка на основную публикацию
Что делать если виснет браузер
Автор Юрий Белоусов · 18.03.2019 Пользователи могут столкнуться с неприятной ситуацией, когда браузер Опера зависает, виснет, подвисает, тормозит, лагает, глючит....
Хранение машины в гараже плюсы и минусы
От того, в каких условиях хранится автомобиль, во многом зависит его техническое состояние, а также внешний вид, а при желании...
Хранилище игр на пк
Играй в любимые игры на любом компьютере без лагов и тормозов Играй в крутые игры Как работает Loudplay Мы предоставляем...
Что делать если винда 10 не запускается
В нашей сегодняшней статье будет рассмотрен ряд случаев, связанных с отказом запуска операционной системы Windows 10 на компьютере или ноутбуке....
Adblock detector