Формула ротора векторного поля

Формула ротора векторного поля

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность:

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

  • Дивергенция ротора равна нулю:

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

  • Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также $ mathbf <
abla> imes mathbf, $ где $ mathbf
abla $ — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

Нормаль $ mathbf n $ к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат $ mathbf
abla imes mathbf F $ вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

или как определитель следующей матрицы:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

$ mathbf(mathbf) = mathbf_ + mathbf <omega> imes mathbf +
ablavarphi + o(mathbf
), $

где $ mathbf <omega>$ — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а $ varphi $ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор $ mathbf_ $ ), вращательного движения (вектор $ mathbf <omega> imes mathbf $ ) и потенциального движения — деформации (вектор $
ablavarphi $ ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство $ operatorname

mathbf = 2mathbf<omega>, $ и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность:

$ operatorname;( amathbf + bmathbf ) = a;operatorname

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если $ varphi $ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$ operatorname

varphi mathbf = operatorname

imes mathbf + varphi ;operatorname

$
abla imes(varphi mathbf) = (
ablavarphi) imes mathbf
+ varphi ;(
abla imesmathbf
). $

  • Дивергенция ротора равна нулю:

$ operatorname

mathbf = 0 $ или $
abla cdot (
abla imes mathbf
) = 0 . $

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

mathbf = 0 Rightarrow mathbf = operatorname

mathbf. $

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

$ mathbf = operatorname

varphi Rightarrow operatorname

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

mathbf = 0 Rightarrow mathbf = operatorname

для некоторого скалярного поля $ varphi . $

  • Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

$ ointlimits_<partial S>mathbf cdot,mathbf

= intlimits_S (operatorname

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

$ mathbf <
abla imes>left( mathbf
ight) = left[ left( mathbf <
abla cdot F >
ight) + mathbf
ight] mathbf
— left[ left( mathbf <
abla cdot v >
ight) + mathbf

ight] mathbf . $

Если v и поменять местами:

$ mathbf left( mathbf <
abla imes F>
ight) =
abla_F left( mathbf

ight) — left( mathbf

ight) mathbf < F> , $

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

$
abla imes left( mathbf <
abla imes F>
ight) = mathbf <
abla>(mathbf<
abla cdot F>) —
abla^2 mathbf , $

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имело бы ненулевой ротор в центре и, возможно, везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Примечания

  1. ↑ Математический словарь высшей школы. В.Т.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович

См. также

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ротор (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Suggest as cover photo

Would you like to suggest this photo as the cover photo for this article?

Thank you for helping!

Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

Ссылка на основную публикацию
Фартуки для кухни отзывы какие лучше брать
Сегодня поговорим о самых популярных материалах для оформления рабочей зоны, сравним их и выясним какой же материал лучше всего подойдет...
Удобное компьютерное кресло отзывы
В общем, надоело мне с ноутбуком на кровати валяться, спину портить. Стол есть, 74см высотой. Сейчас сижу на офисном стуле,...
Удобный сайт для просмотра фильмов
Некоторые онлайн-кинотеатры радуют лицензионными бесплатными фильмами, однако за лучший контент придётся платить. В подборке Лайфхакера — несколько хороших сервисов с...
Фейк ава в вк парня
Фото девушек на аву Фото девушек на аву Здесь вы можете найти для себя много реальных фото на аву красивых...
Adblock detector