Определение предела функции двух переменных

Определение предела функции двух переменных

Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z — совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных — множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y)A | 0 найдется δ-окрестность точки (х, у) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х, у), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х, у) можно записать в виде х = х + Δх, у = у + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х, у), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ωх, ωу) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ωх 2 + ωу 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y) за исключением точки х = 0, у = 0. Имеем (учесть, что и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y)| 0, имеет вид

).

Число А называется пределом функции f(M) при ММ, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М и удовлетворяющих условию | ММ |

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y)число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y)может быть доказана так:

Читайте также:  Редактор уровней angry birds

| f (х + Δх, у + Δу)f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R2.

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y), очевидно, непрерывная всюду на R2, за исключением точек (x, y), где Q(x, y) = 0.

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х, у) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х, у) в некоторой окрестности точки (х, у).

По определению функция f (x) = f (x1, . хп) непрерывна в точке х 0 = 0 1, . х 0 п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:

(2")

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h1, . hп),

и на его языке определить непрерывность f в х 0 : функция f непрерывна в х 0 , если

(2"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ 0 ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δh f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .

Читайте также:  Что такое snapchat и как им пользоваться

По определению х 0 = 0 1, . х 0 п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G Rn называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

Множество G называется связным, если любые его две точки х 1 , х 2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на Rn (во всех точкахRn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству

f (x) > с (или f (x) 0, совпадает с G. Пусть х 0 G, тогда существует шар

| хх 0 | 0, т.е. он принадлежит к G и точка х 0 G – внутренняя для G.

Решение. Функция z = ln (x 2 + y 2 ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Рассмотрим плоскость и систему Oxyдекартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел ( x, y )можно сопоставить единственную точкуMплоскости и наоборот, каждой точкеMплоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел ( x, y )и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел ( x, y ), удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Определение 1.5Конечное число Aназываетсяпределом функции f ( x, y )при

и

если для любого положительного числа εможно найти такое положительное числоδ, что неравенство

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f ( х, у )как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ.

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М. Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМи тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

Употребительны следующие обозначения предела:

Читайте также:  Словарь русско казахский перевод слова

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

§3 Непрерывность функции двух переменных

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано — Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 — 1897) — немецкий математик. Бернард Больцано (1781 — 1848) — чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) — французский математик, президент французской Академии наук (1844 — 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Данная функция определена при всех значениях переменных xиy, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k"уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

3.Определение предела функции двух переменных. Определение частной производной. Пример.

Определение предела функции двух переменных:

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при и , если для любого существует , такое, что для всех и и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Определение частной производной функции двух переменных:

Частной производной функции по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к приращению этого аргумента, при условии что приращение .

Ссылка на основную публикацию
Обмен приора на иномарку
Короче есть возможность купить nissan maxima 2 литра 2004 года с пробегом 170 т.км.Подскажите кто ездил или может у кого...
Нетбук packard bell ze6
В свое время компания Packard Bell была куплена корпорацией Acer. Не мудрено, что сейчас в дизайне ноутбуков PB просматриваются черты...
Нету игрового режима в windows 10
Каждое обновление Windows 10 приносит новые исправления и улучшения в работе операционной системы. Последние обновления предлагают новые функции интеграции между...
Обмен процессора с доплатой
Программа трейд-ин ПК: выбирайте бюджетный вариант полного обновления компьютерной техники и комплектующих Современные технологии развиваются настолько стремительно, что морально устареть...
Adblock detector