Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла

Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла

—>Просмотров : 3234 | —>Добавил : buzz (01.11.2018) (Изменено: 01.11.2018)

Обсуждение вопроса:

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.

Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников: AD — общая; углы 1 и 2 равны т.к. AD — биссектриса; AB = AC, т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является медианой и высотой.

Рассмотрим рисунок ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AD — его биссектриса.

Из равенства треугольников ABD и ACD следует что BC = DC и угол 3 = углу 4. Равенство BC = DC означает что точка D — середина стороны BC и поэтому AD — медиана треугольника ABC. Т. к углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказанна.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано:
∆ ABC,
AC = BC,
CF — биссектриса.

Доказать: CF — медиана и высота.

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) AC = BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника)).

2) ∠ACF = ∠BCF (так как CF — биссектриса по условию).

3) сторона CF — общая.

Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов.

Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана.

∠AFC = ∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC = ∠BFC = 90º.

Значит, CF — высота.

Что и требовалось доказать.

Теорема о биссектрисе угла:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, которые пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам данного треугольника.

Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и биссектрису AD угла BAC. Из свойства биссектрисы вытекает равенство углов BAD и DAC.
Продолжим отрезок AC за вершину А треугольника ABC.
Через вершину В треугольника ABC проведем прямую, которая параллельна биссектрисе AD. Точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой E.
Докажем равенство отрезков AB и AE.
Для доказательства обратим внимание на равенство угла EBA и угла BAD как внутренних накрест лежащих при двух параллельных AD и EB и секущей АВ.
Также обратим внимание на равенство угла BEA и угла DAC как соответственных при двух параллельных прямых AD и EB и секущей АС.
Следовательно углы EBA и BEA равны между собой, из чего также следует, что треугольник ВЕА – равнобедренный, то есть отрезки AE и AB равны.
Воспользуемся теоремой Фалеса и составим пропорцию:

Из пропорции следует пропорциональность прилежащих сторон и отрезков, на которые делит биссектриса противоположную сторону треугольника.
Теорема доказана.

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Биссектриса это луч начало которого лежит на вершине угла и биссектриса делит гол на две равные части.

Другие вопросы из категории

На рисунке угол AMK =угол BKM =90 град, AK =BM.Докажите что AM=BK

Ад большее основание
ВЕ паралельна СД
ВС= 9 см
Раве= 20 см
Найти Равсд

Читайте также

3) Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите теорему о внешнем угле треугольника?

4) Обьясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой?

5) Докажите что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол?

(Желательно с рисунками) Спасибо!

3)Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре,проведенным из данной точки к данной прямой.

касания прямой и окружности? 3. сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. 4. сформулируйте и докажите теорему обратную теореме о свойстве касательной 5. какой угол называется центральным углом окружности? 6.как определяется градусная мера дуги? как она обозначается? 7. какой угол называется вписанным? сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 8.сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающих хорд. 9.сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла. 10. какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? 11.сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку 12.сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника. 13. какая окружность называется вписанной в многоугольник? какой многоугольник называется описанным около окружности?

2 Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

.3 Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4 Какой треугольник называют остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

5 Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Теорема. Биссектриса любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Требуется доказать, что если ∠ABD = ∠DBC, то AD : DC = АВ : ВС.

Проведём СЕ || BD до пересечения в точке Е с продолжением стороны АВ. Тогда, согласно теореме о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, будем иметь пропорцию:

Чтобы от этой пропорции перейти к той, которую требуется доказать, достаточно обнаружить, что ВЕ = ВС, т. е. что (Delta)ВСЕ равнобедренный.

В этом треугольнике ∠Е = ∠ABD (как углы соответственные при параллельных прямых) и ∠ВСЕ = ∠DBC (как углы накрест лежащие при тех же параллельных прямых).

Но ∠ABD = ∠DBC по условию; значит, ∠Е = ∠ВСЕ, а потому равны и стороны BE и ВС, лежащие против равных углов.

Теперь, заменив в написанной выше пропорции BE на ВС, получим ту пропорцию, которую требуется доказать.

Пример. Пусть АВ = 10; ВС = 7 и АС = 6. Тогда, обозначив AD буквой x, можем написать пропорцию: x : (6 — x) = 10 : 7,

Всего ответов: 5

Ссылка на основную публикацию
Сталкер зов припяти лучшее оружие в игре
S.T.A.L.K.E.R.: Call of Pripyat 4,260 уникальных посетителей 105 добавили в избранное "Уникальная модель пистолета СИП-т М200. Была выпущена малой партией...
Соевый соус стебель бамбука классический отзывы
Всем доброго дня!Много мнений по этому поводу, как вы считаете, соевый соус или морская соль, что менее вредно для организма....
Соевый соус ямаса отзывы
Полное наименование: Соевый Соус классический (натурально сваренный) Изготовитель: Yamasa Corporation Все характеристики Соевый соус Yamasa: Результаты теста Достоинства Безопасный Не...
Сталкер зов припяти много оружия
Для Всех любителей отличного отечественного шутера S.T.A.L.K.E.R.Зов Припяти представлен новый Оружейный мод Автоматы Штурмовые винтовки:1. АК-472. АКS-47 тактический3. АК-113 "Монгол"4....
Adblock detector