Синус угла в треугольнике это отношение

Синус угла в треугольнике это отношение

Синус (sin) – это одна из прямых тригонометрических функций. Подробнее о ней можно узнать из нашей статьи Что такое синус.

Синус угла в прямоугольном треугольнике

Прежде чем выяснять, как найти синус угла, необходимо определиться с условными обозначениями. Пусть в прямоугольном треугольнике:

  • α – острый угол, синус которого нужно найти;
  • с – гипотенуза;
  • b – прилежащий катет;
  • a – противолежащий катет.

Тогда чтобы найти синус острого угла прямоугольного треугольника, достаточно посчитать соотношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin(α) = a/c. При этом стоит запомнить, что sin 90° всегда равен 1.

Синус угла в произвольном треугольнике

Находить синус угла в произвольном треугольнике проще всего с использованием теоремы косинусов (cos): квадрат длины любой стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон за минусом их удвоенного произведения на косинус угла между ними.

a² = b² + c² — 2*b*c*cos(α)

Из данной формулы можно найти косинус: cos(α) = (b² + c² — a²)/(2*b*c)

А поскольку для одного и того же угла sin(α)² + cos(α)² = 1 и это константа, то можно вывести формулу для определения синуса:

Более детально нахождение синуса угла с использованием косинуса рассмотрено в нашей статье Как найти синус, если известен косинус.

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе . Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: "синус альфа".

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе . Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: "косинус альфа".

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету . Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: "тангенс альфа".

Читайте также:  Вторая линия при звонке

(1)

(2)

(3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

(4)

Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано: АВС, А1В1С1, С = С1 = 90 0 , А = А1.

Доказать: sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.

Доказательство:

АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С1 = 90 0 , А = А1). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:

Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A1. Аналогично , т.е. cos A = cos A1, и , т.е. tg A = tg A1, что и требовалось доказать.

Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.

Докажем основное тригонометрическое тождество:

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора , поэтому .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Читайте также:  Как найти среднее арифметическое корней уравнения

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

Читайте также:  Что такое динамическая контрастность в телевизоре

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Ссылка на основную публикацию
Секреты работы в word
Все секреты Word. MicrosoftWord – одна из наиболее часто используемых программ. Все мы пользуемся этим приложением, зачастую даже не зная...
С чем связана четвертая информационная революция ответ
Первая информационная революция связана с изобретением письменности, что привело к гигантскому качественному скачку: появилась возможность фиксировать знания на материальном носителе,...
Рынок бытовой техники в россии 2018
По данным исследования "INFOLine Retail Russia ТOP-100. Итоги 2017 года. Тенденции 2018 года. Прогноз до 2020 года", подготовленного специалистами INFOLine,...
Секс во время соревнований
Воздерживаться или не воздерживаться – вот в чем вопрос Джоэл Сидман, кандидат наук Вот что вам нужно знать… Влияние секса...
Adblock detector