Теорема котельникова для сигналов с ограниченным спектром

Теорема котельникова для сигналов с ограниченным спектром

Проблема дискретизации сигналов с ограниченным спектром широко освещена в литературе, и основой ее служит теорема Котельникова (теорема Найквиста — Шеннона, или теорема отсчетов). Считается, что первыми фундаментальными трудами в этой области были работа В. А. Котельникова «О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи» (1933) и статья К. Шеннона «Связь при наличии шума» (1949). Статья К. Шеннона была написана на основе работы Е. Т. Уттакера «Функции, представляемые распространением теории интерполяции» (1915). Проблема представления функции отдельными значениями и восстановления ее при помощи интерполяции начала решаться в XVIII в. в работах О. Коши, П.-С. Лапласа и т.д., а позднее описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли.

Для того чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми погрешностями, необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации At. Интуитивно нетрудно понять следующую разумную идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой FB (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации At эта функция может существенно изменяться но амплитуде.

Точность восстановления аналогового сигнала по его отсчетам зависит от интервала дискретизации At. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала At существенно возрастают сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При большом интервале дискретизации At возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальное значение интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова. Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций этой теоремы произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой FB, может быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации At и частоту Fd = Fn в теории связи иногда называют соответственно интервалом и частотой Найквиста.

Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k — номер отсчета; u(kAt) — значения непрерывного сигнала u(t) в точках отсчета; сов = 2nFn = к/At — верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы рассмотрим аналоговый сигнал u(f), спектральная плотность 5(со) которого сосредоточена в полосе -оов 6 с.

Впоследствии было предложено много различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчетов:

  • • для функций, отсчеты которых берутся в произвольные моменты времени;
  • • для многомерных функций (например, для телевизионных сигналов);
  • • для функций, у которых берутся отсчеты и самой функции, и ее производной.

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности Тп. Такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако всегда можно ограничиться верхней частотой FB, за пределами которой в спектре содержится малая доля энергии по сравнению с энергией всего сигнала. В теории связи таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью ТИ с верхней граничной частотой спектра FB может быть представлен рядом Котельникова с ограниченным числом отсчетов

Читайте также:  Файлы thumbnails что это

Здесь Л г = TJAt — число отсчетов.

Представим рядом Котельникова прямоугольный импульс напряжения единичной амплитуды и длительности т„ для двух случаев: спектр аппроксимирующей функции ограничен значениями верхней частоты FBl = 1/(2ти) и Fd2 = 1/т„.

Для первого случая интервал дискретизации At = 1/(2FB) = ти, а значит, импульс будет представлен всего двумя отсчетными значениями — в начале и концс импульса. Подставив в формулу (6.8) значения амплитуды и длительности импульса, запишем математическую модель аппроксимирующей функции:

Во втором случае импульс дискретизируют тремя равными отсчетами, производимыми в моменты t = 0, т(1/2 и ти, т.е. в начале, середине и конце импульса. Тогда

Временные диаграммы аппроксимирующих функций u2(t) и u3(t) и образующие их члены ряда Котельникова представлены на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Представление прямоугольного импульса отсчетами:

Определим минимальную частоту дискретизации по Котельникову, при которой гармонический сигнал u(t) = cos(2nFt + (, си верхняя частота спектра исходного сигнала сов = к/At = 1,57- 10 f> с -1 . Согласно формуле

(6.8) ряд Котельникова в этом случае примет вид

Из этого соотношения находим мгновенное значение аналогового сигнала в момент времени t = 1 мкс: u(t = 1 мкс) = 22,3 В.

Лекция № 7.

Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени. Скачки значений в них практически не наблюдаются. Поэтому такие сигналы можно представить последовательностью их значений, взятых с некоторым шагом по времени. Значение сигнала в фиксированный момент называется отсчетом.

На этом рисунке показан непрерывный сигнал и его отсчеты с различным шагом по времени. При малом шаге (рис. б) последовательность отсчетов достаточно точно описывает сигнал, а при большом шаге (рис. в) по отсчетам нельзя восстановит форму сигнала, так как пропущены его характерные экстремальные точки.

Как же часто следует брать отсчеты, чтобы по ним можно было полностью восстановить сигнал?

Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная в 1933 г. Советским ученым академиком В.А.Котельниковым. и названная его именем.

Согласно этой теореме любой непрерывный сигнал с конечным спектром (имеющим максимальное значение ) можно представить в виде дискретных отсчетов , частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала:, передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал.

Теорема Котельникова является основой для дискретизации непрерывных сигналов по времени, так как, во – первых, доказывает, что непрерывный сигнал можно заменить его дискретными значениями, во – вторых, дает правило вычисления шага дискретизации – . При таком шаге дискретизации ряд Котельникова дает точное временное представление сложного сигнала.

Читайте также:  Как из формата jpg сделать word

Физический смысл теоремы Котельникова.

Теорема Котельникова утверждает, что если требуется передать непрерывный сигнал с ограниченным спектром по каналу связи, то можно не передавать все его значения: достаточно лишь передать его мгновенные значения (отсчеты) через интервал . Поскольку сигнал полностью определяется этими значениями, то по ним он может быть восстановлен на приемном конце системы связи. Для этого достаточно соединить отсчеты плавной кривой. Это можно объяснить тем, что сигнал между отсчетами может изменяться только плавно, так как частоты выше дающие быстрые изменения, в сигнале отсутствуют. Ведь отсчеты берутся достаточно часто, и тем чаще, чем выше максимальная частота .

Практическое применение теоремы Котельникова.

Дискретизация сигнала осуществляется достаточно просто: периодически на короткое время через интервал ключом замыкается цепь от источника сигнала к нагрузке – получаем отсчеты . Далее эти отсчеты, пройдя через канал связи, поступают на вход идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с верхней частотой пропускания . На выходе фильтра получается исходный непрерывный сигнал .

Структурная схема системы связи с использованием теоремы Котельникова.

На передающей стороне берутся отсчеты сигнала в моменты . Далее отсчеты любым способом передаются по каналу связи. Идеальный ФНЧ на приемном конце восстанавливает исходный сигнал .

Частота следования импульсов, называемая также частотой дискретизации, определяется по теореме Котельникова:

.

Например, частота дискретизации для речевого (телефонного) сигнала, имеющего максимальное значение спектра сигнала , будет равна . Согласно рекомендациям МККТТ и, соответственно, .

Теорема Котельникова в многоканальной электросвязи.

Возможность передачи вместо непрерывных сигналов последовательности импульсов (отсчетов) позволяет осуществить временное разделение каналов. Дело в том, что при импульсной передаче период следования импульсов обычно намного больше их длительности, то есть импульсы имеют большую скважность – при большой скважности между импульсами одного сигнала остается промежуток, на котором можно разместить импульсы от других сигналов. Этот способ и называется временным разделением. В настоящее время уже реализованы многоканальные системы передачи с временным разделением каналов на 12, 15, 30, 120, 480, 1920 речевых сигналов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10244 — | 7936 — или читать все.

Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь. Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.

Читайте также:  4 Ядерный процессор характеристики

В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал s(t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ωв = 2πFв, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени [1]

Известно, что при аналогово-цифровом преобразовании, чем меньше частота оцифровки (или больше период дискретизации) и грубее квантование сигнала, тем меньше данных необходимо для представления аналогового сигнала в цифровом виде. С другой стороны с уменьшением объема данных увеличивается вероятность потери информации содержащейся в сигнале.

Чтобы продемонстрировать искажение информации при неправильном выборе частоты дискретизации сигнала рассмотрим примеры.

Пример.

Гармонический сигнал имеет частоту f (период T = 1/f). Проведем дискретизацию сигнала с периодом дискретизации Tд меньшим половины периода входного сигнала T (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Дискретизация сигнала с периодом Тд

Рис. 4.2. Стробоскопический эффект дискретизации

При дискретизации с периодом равным половине исходного аналогового сигнала (fд = 2f) возникает неопределенность начальной фазы и амплитуды сигнала, т.е. возможно зеркальное искажение (противофаза), при этом частота исходного сигнала не искажается. В крайнем случае, мы можем получить отсчеты сигнала равные нулю (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Дискретизация сигнала с периодом Тд = Т/2

Если период дискретизации меньше половины периода исходного сигнала, то очевидно, что через получившиеся после оцифровки точки можно построить только один гармонический сигнал, соответствующий исходному, без искажения начальной фазы, амплитуды и частоты (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Дискретизация сигнала с периодом Тд 2·Fmax.

Данное утверждение известно как теорема Котельникова (в западной литературе теорема Найквиста-Шеннона) или теорема отсчетов.

Рис. 4.5. Временные диаграммы непрерывного сигнала s(t) и дискретизированного sд(t)

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s(t), достаточно передавать отсчёты s(kDt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

, (4.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала s(t) в ряд по ортогональным функциям φk(t).

(4.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов.

;

Рис. 4.6. Временная диаграмма одиночного d-импульса

Спектр одиночного d-импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

Рис. 4.7. Спектр одиночного δ-импульса

Чтобы получить отсчёты функции s(t) перемножим функцию s(t) на периодическую последовательность дельта-импульсов с периодом Т = Dt.

Рис. 4.8. Временная диаграмма периодической последовательности

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(4.3)

;

Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид:

Рис. 4.9. Спектр периодической последовательности δ-импульсов

Дата добавления: 2017-10-04 ; просмотров: 4413 ;

Ссылка на основную публикацию
Тарифы мтс смарт 400 руб
С того момента как тариф «Смарт» стал доступен для активации, он претерпел множество изменений. Они касаются размера абонентской платы, количества...
Сталкер зов припяти лучшее оружие в игре
S.T.A.L.K.E.R.: Call of Pripyat 4,260 уникальных посетителей 105 добавили в избранное "Уникальная модель пистолета СИП-т М200. Была выпущена малой партией...
Сталкер зов припяти много оружия
Для Всех любителей отличного отечественного шутера S.T.A.L.K.E.R.Зов Припяти представлен новый Оружейный мод Автоматы Штурмовые винтовки:1. АК-472. АКS-47 тактический3. АК-113 "Монгол"4....
Тарифы ростелекома на домашний интернет
Полный список актуальных тарифов Ростелеком для города Москва. Подключай тарифы Rostelecom в Москве бесплатно и пользуйся качественными услугами интернета и...
Adblock detector