Точка пересечения биссектрис треугольника центр

Точка пересечения биссектрис треугольника центр

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Биссектриса треугольника и ее свойства

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже.

А что такое середина угла?

Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно – только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса – это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей.

Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ОГЭ и ЕГЭ!

Первое знание, которое поможет в этом — это.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника , проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

  • Основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно — это сторона .
  • Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова ) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.
  • В ысота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.
Читайте также:  У устройства отсутствует канал

Итак, разобрались? Ну почти.

Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга.

При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком».

Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи ?

Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

По-моему просто, нет? А чем они отличаются ?

Чем отличаются друг от друга биссектриса, медиана и высота?

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос.

Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана разбивает на два абсолютно равных треугольника.

Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать.

Ничего подобного — все просто! Смотри: у и равны стороны и , сторона у них вообще общая и . ( – биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что , а значит = и .

= – это уже хорошо – значит, оказалась медианой.

Читайте также:  Как разогнать комп на максимум

А вот что такое ?

Посмотрим на картинку — . А у нас получилось, что . Значит, и тоже! Наконец, ура! и .

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам и перпендикулярна ему.

Посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике!

Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

B проведем две биссектрисы и . Они пересеклись – а куда деваться-то? Какой же угол получился у точки ?

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ?

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Уравнение прямой AC:

Уравнение прямой BC:

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

Читайте также:  Как удалить телеграмм на андроиде

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x-y-24=0: 0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

Свойство 1

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в треугольник окружности.

Свойство 2

Если CD — биссектриса угла C ? ABC, то

Свойство 3

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении a + b c , считая от вершины:

Свойство 4

Биссектриса угла C вычисляется по формулам:

Ссылка на основную публикацию
Тест эксель на собеседовании
Если вы хоть раз пытались устроиться на работу или же работаете на должности, в круг обязанностей которой входит принятие людей...
Тарифы мтс смарт 400 руб
С того момента как тариф «Смарт» стал доступен для активации, он претерпел множество изменений. Они касаются размера абонентской платы, количества...
Тарифы ростелекома на домашний интернет
Полный список актуальных тарифов Ростелеком для города Москва. Подключай тарифы Rostelecom в Москве бесплатно и пользуйся качественными услугами интернета и...
Тестирование cd и dvd дисков
В этой статье я опишу программу тест Nero CD DVD Speed, которая разработана компанией "Nero Softwsre AG". С помощью программы...
Adblock detector