1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.
1. Закон двойного отрицания:
не (не А) = A.
Двойное отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
— для логического сложения:
А 
B = B A;
— для логического умножения:
A & B = B & A.
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
— для логического сложения:
(A B) C = A (B C);
— для логического умножения:
(A & B) & C = A & (B & C).
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
— для логического сложения:
(A B) & C = (A & C) (B & C);
— для логического умножения:
(A & B) C = (A C) & (B C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
— для логического сложения:
;
— для логического умножения:
.
6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem — тот же самый и potens -сильный; дословно — равносильный):
— для логического сложения:
A A = A;
— для логического умножения:
A & A = A.
Закон означает отсутствие показателей степени.
7. Законы исключения констант:
— для логического сложения:
A 1 = 1, A 0 = A;
— для логического умножения:
A & 1 = A, A & 0 = 0.
8. Закон противоречия:
A & (не A)= 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
9. Закон исключения третьего:
A (не A) = 1.
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
10. Закон поглощения:
— для логического сложения:
A (A & B) = A;
— для логического умножения:
A & (A B) = A.
11. Закон исключения (склеивания):
— для логического сложения:
(A & B) ( & B) = B;
— для логического умножения:
(A B) & ( B) = B.
12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A 
B) = (B A).
Пример.Построить таблицу истинности функции
| А | В | C | В C |
А & (В C) |
Пример. Упростить логическое выражение: 
Упражнения для самостоятельного выполнения
1. Преобразовать следующие логические выражения:
2. Составить таблицы истинности для следующих логических функций:
Индивидуальные задания по теме «Булевы функции»
В индивидуальном задании требуется выполнить преобразование приведенных
ниже функций и построить таблицу истинности f(x,y,z) на наборах переменных
Not (A Or B And C):
1And
Логическое выражение (x-1)^2+(y-1)^2 =1) And (y>=1) And (y x+1
Каким логическим выражением задается треугольная область, ограниченная прямой, проходящей через начало координат и точку (1;1), прямой x=1 и осью абсцисс?
(y>=x) And (y>=0) And (x>=0)
Половина круга единичного радиуса с центром в начале координат, расположенная под осью абсцисс, задается логическим выражением:
x=x+i
Next i
Переменная х принимает значение, равное.
После выполнения последовательности инструкций
Порядок выполнения работы
1. Рассмотреть основные понятия алгебры логики.
2. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности.
3. Научиться находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.
Теоретическая часть
Логика высказываний – это наука о законах и формах мышления, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других.
Высказывание – это сообщение, выраженное повествовательным предложением, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Логическое выражение – простое или сложное высказывание, представленное в виде символов.
Значение истинного высказывания – истина (1).
Значение ложного высказывания – ложь (0).
Высказываниям ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита). Например, А – «Клавиатура – устройство для ввода информации в системный блок» (А=1) и В – «ВЗУ располагается внутри системного блока» (В=0).
Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.
Логические операции и таблицы истинности
1) Логическое умножение или конъюнкция:
Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | F |
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | F |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.
Таблица истинности для инверсии:
| A | не А |
4) Логическое следование или импликация:
Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.
Таблица истинности для импликации:
| A | B | F |
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | F |
Обозначение логических операций.
| Логические операции | Связка (союз) | Обозначение |
| Конъюнкция логическое умножение | И | л, &, • |
| Дизъюнкция логическое сложение | Или | V, + |
| Инверсия логическое отрицание | Не | ¯, ﹁ |
| Импликация логическое следование | Если …, то … | →, ⇒ |
| Эквивалентность | Тогда … только тогда, когда … | ↔, |
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.
Задание 1. Найти значения логического выражения:
| 1. | (1 V 1) V (1 V 0) | 7. | (1 V 0) & (1 V 0) & (1 → 0) |
| 2. | ((0 & 1) & 1) л 0 V 1 | 8. | ﹁(1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 V 1) |
| 3. | ((1 V 0) & (1 & 1)) & (0 V 1) | 9. | ((1 V 0) л (1 & 1)) л (0 л 1) |
| 4. | (0 V 1) → (1 & 1) | 10. | ((0 V 1) & 1) л 0 V 1 |
| 5. | (1 & 1 V 0) ↔ (﹁1 & 1) | 11. | (1 V ﹁1) & (1 л 0) |
| 6. | ﹁((1 → 0) ↔ (1 & 1) V 1) | 12. | ((1 → 0) ↔ (1 л 1) V 1) |
Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо знака «?» (если это возможно), чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина»:
| 1. | (а V в)? (﹁в V в) | 7. | (﹁а V а)? (﹁в V ﹁в) |
| 2. | (а V а) ? (﹁в V а) | 8. | (а л а) ? (﹁в л ﹁в) |
| 3. | (а л а) ? (﹁в V в) | 9. | (﹁а л ﹁а)? (﹁в л ﹁в) |
| 4. | (﹁а л ﹁а)? (﹁в V в) | 10. | (в V в) ? (а л а) |
| 5. | (а л а) ? (﹁в V ﹁в) | 11. | (﹁а V ﹁а)? (﹁в V ﹁в) |
| 6. | (﹁в л﹁в)? (﹁а V в) | 12. | (в л ﹁а) ? (а V ﹁в) |
Задание 3.Для исходной логической функции построить таблицу истинности:
| 1. | (А V В) & (А V С) & (В → С) | 7. | (С V ﹁А) V (﹁В V А) |
| 2. | ((А & С) & ﹁В) V (В & А) | 8. | (﹁А & В V С) ↔ ﹁(В V А) |
| 3. | ((С V ﹁В) & (А & С)) & (А V В) | 9. | ((В V В) л (С & С)) л (А л С) |
| 4. | ((В V А) & А) л (С V ﹁С) | 10. | (В & В) → ((А & А) л (С&﹁С)) |
| 5. | (С & ﹁А) V (﹁В & А) | 11. | (А & В V А) ↔ ( С & ﹁С) |
| 6. | ((В л С) & (﹁А л А)) & (С V ﹁В) | 12. | ((﹁А → В) ↔ (С л С) V В) |
Пример выполнения
Задание 1.Найти значения логического выражения:
(﹁0 V ﹁1) л (1 л 0) = (1 V 0) л 0= 1 л 0 = 0.
Задание 2. Поставить знак конъюнкции или дизъюнкции вместо «?», если это возможно, чтобы логическое выражение при любых значениях а и в всегда принимала значение «истина».
Задание 3.Для исходной логической функции построить таблицу истинности.
1) Необходимо внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных А, В, С.
2) Определить последовательность выполнения логических операций (приоритет).
3) Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
| А | В | С | А & В | А → С | (А & В) → (А → С) | ((А & В) → (А → С))VА |
1. Для чего предназначены таблицы истинности?
2. Что такое высказывание?
3. Установите приоритет следующим логическим операциям: дизъюнкция, инверсия, конъюнкция.
4. Приведите пример ложного высказывания.
5. Приведите пример истинного высказывания.
