Промежутки монотонности функции 
– это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.
Говорят, чтофункция возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента 
, принадлежащих промежутку I таких, что 
выполняется соотношение: 
.
Другими словами, функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумета из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которыхграфик идет вверх.
Говорят, что функция убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента , принадлежащих промежутку I таких, что выполняется соотношение: 
.
Другими словами, функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумета из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которыхграфик идет вниз.
Точки максимума и минимума функции.
Точка 
называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
Графически это означает что точка с абсциссой лежит выше других точек из окрестности I графика функции .
Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
Графически это означает что точка с абсциссой лежит ниже других точек из окрестности I графика функции .
Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.
Четность (нечетность) функции.
Функция называется четной, если выполняются два условия:
а) Для любого значения аргумента 
, принадлежащего области определения функции, 
также принадлежит области определения функции.
Другими словами, область определения четной функции симметрична относительно начала координат.
б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение 
.
Функция называется нечетной, если выполняются два условия:
а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.
Другими словами, область определения нечетной функции 
симметрична относительно начала координат.
б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение 
.
Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.
Чтобы определить четность функции, нужно:
а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.
Если, например, число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция – функция общего вида.
Если область определения функции – симметричное множество, то проверяем п. б)
б). В уравнение функции нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду 
или 
.
Если , то функция четная.
Если , то функция нечетная.
Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция – общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).
Периодичность функции.
Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что
§ для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)
§ 
В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОРОК, в котором я рассказываю, как определить свойства функции, график которой изображен на рисунке: 
Обратная функция
Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.Предположим, мы имеем функцию:
где u — аргумент, a v — функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :
Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:
каждая из которых является обратной по отношению к другой.
Сложная функция –функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.
В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).
Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:
.
Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1),y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то
28. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности: x1-первый член, x2-второй член, . , xn—n-ый член. Числовая последовательность обозначается так: <xn>.
Числовую последовательность задают формулой n-го члена: xn=f(n). Например, если 
то x1=2, 
, . 
и т.д.
Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: 
, x1=1.
Тогда 
, 
, 
и т.д.
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; Нарушение авторского права страницы
Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.
Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.
Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) ¤ (x).
Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)
1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).
2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).
Пример:
Найти промежутки монотонности функции у = — х 2 + 10х + 7
Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R
Найдем f ¤ (x). y¢ = -2х +10
Точек разрыва производная y¢ не имеет;
Найдем точки, в которых y¢ = 0
Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:
на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.
Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f ¤ (x) = 0 или терпит разрыв.
Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:
Если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с + на — , то точка x есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с — на + , то точка x есть точка минимума.
Пример:
Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.
У = х 3 –6х 2 + 9х
Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R
Найдем f ¤ (x). y¢ = 3 х 2 –12х +9
Точек разрыва производная y¢ не имеет;
Найдем точки, в которых y¢ = 0
3 х 2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения
y¢ обращается в 0 при х1 = 1, х2 = 3,
Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:
(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:
на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,
на промежутке [1,3] y¢ 0,
Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.
Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.
Найдем значения умах и умin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1
Промежутки монотонности функции y = f (x) — это такие интервалы значений аргумента х, при которых функция y = f (x) возрастает либо убывает.
Для определения промежутков монотонности функции f(x) требуется:
2) выполнить расчет производной для выбранной функции;
3) узнать критические точки при условии равенства нулю производной f `(x) = 0 либо при условии, что производная f `(x) не существует;
4) поделить критическими точками область определения на сегменты, в каждом из которых выяснить знак производной.
На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная — убывает.
Исследуем функцию y = x 3 на монотонность на всей числовой прямой.
Делаем вывод, функция y = x 3 возрастает на всей действительной оси.
