Уравнение движения в полярной системе координат

Уравнение движения в полярной системе координат

где r – радиус – вектор ИСЗ (расстояние от центра Земли до ИСЗ);

Vr – радиальная составляющая вектора скорости;

Vt – трансверсальная составляющая вектора скорости;

F – ускорение, сообщаемое ИСЗ двигателем коррекции;

l – угол между радиус–вектором ИСЗ и направлением тяги

m – гравитационная постоянная Земли (0.398603×10 6 км 3 /с 2 ).

q – полярный угол (аргумент широты)

Для расчета начальных условий используем следующие связи

фокальный параметр

истинная аномалия, q=u

– расстояние

– радиальная скорость

– трансверсальная скорость

Формулы для вычисления элементов орбиты имеют вид

эксцентриситет

синус и косинус истинной аномалии

фокальный параметр ,

большая полуось

расстояние в перигее

расстояние в апогее

Уравнения в несингулярных равноденственных элементах

где

F – ускорение, сообщаемое ИСЗ двигателем коррекции;

l – угол между радиус–вектором ИСЗ и вектором тяги

Начальные условия для этих уравнений вычисляются по параметрам начальной орбиты с помощью следующих формул

Для вычисления параметров орбиты по зависимым переменным используются следующие соотношения

– фокальный параметр

– эксцентриситет

– истинная аномалия

большая полуось

расстояние в перигее

расстояние в апогее

Варианты методов управления

N Метод Закон
Постоянство эксцентриситета
Постоянство расстояния до перигея
Постоянство расстояния до апогея
Постоянство фокального параметра l=0, l=p
Постоянство большой полуоси
Постоянство положения линии апсид
Максимальная скорость изменения эксцентриситета
Максимальная скорость изменения расстояния до перигея
Максимальная скорость изменения расстояния до апогея
Максимальная скорость изменения фокального параметра l=±p/2
Максимальная скорость изменения большой полуоси
Максимальная скорость вращения линии апсид

Варианты заданий

Код Вид уравнений Закон управления
ИСЗ-1 1, 7
ИСЗ-2 2, 8
ИСЗ-3 3,9
ИСЗ-4 4,10
ИСЗ-5 5,11
ИСЗ-6 6,12
ИСЗ-7 1,7
ИСЗ-8 2,8
ИСЗ-9 3,9
ИСЗ-10 4,10
ИСЗ-11 5,11
ИСЗ-12 6,12
ИСЗ-13 1,7
ИСЗ-14 2,8
ИСЗ-15 3,9
ИСЗ-16 4,10
ИСЗ-17 5,11
ИСЗ-18 6,12

Анализ траектории спускаемого аппарата в атмосфере Земли

Требуется рассчитать траекторию движения спускаемого аппарата в атмосфере Земли с высоты ho до h=0. Уравнения движения имеют вид

в этих уравнениях

— угол наклона траектории;

L — горизонтальная дальность полета;

h — высота полета;

— скоростной напор;

R — радиус Земли;

g — ускорение силы тяжести.

Начальные условия движения:

Vo=5000м/с; =-25 о ; ho=100000м; Lo=0; R=6371000м.

Плотность атмосферы берется из таблицы, представленной в [9].

Анализ траектории спуска космического аппарата в атмосфере Марса

Требуется рассчитать траекторию спуска космического аппарата в атмосфере Марса с высоты ho до h=0. Уравнения движения имеют вид

в этих уравнениях

— угол наклона траектории;

L — горизонтальная дальность полета;

h — высота полета;

K — аэродинамическое качество КА;

— плотность атмосферы Марса на высоте h, вычисляемая по формуле ;

gоз=9.81м/с ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

gом=3.76м/с ускорение силы тяжести на поверхности Марса.

— приведенная нагрузка на лобовую поверхность аппарата;

Начальные условия движения:

Vo=250м/с; =-15 о ; ho=3000м; Lo=0.

Анализ движения подводного аппарата

Требуется рассчитать траекторию движения подводного аппарата, которая описывается следующей системой уравнений

P=1000кг — тяга двигателя;

А=200кг — Архимедова сила;

D=0.1кг/м 2 — параметр, характеризующий гидродинамические свойства аппарата;

mc=20кг/с — секундный расход массы, связанный с работой двигателя;

— угол наклона траектории;

x,y — прямоугольные координаты аппарата;

G — ускорение силы тяжести;

Начальные условия движения:

Vo=300м/с; =30 о ; xo=0м; yo=0м; mo=1130кг. Время работы двигателя 20сек.

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-16; Нарушение авторского права страницы

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом , и полупрямой , называемой полярной осью . Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием ( полярным радиусом ) от точки до полюса (т.е. ) и углом ( полярным углом ) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

— в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

— в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла . В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат <связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки , отличной от точки , и ее полярные координаты . По рис.2.28,б получаем

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис.2.29):

Пример 2.9. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии ;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии и — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки и (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт "б", найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если varphi_2" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" /> (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

Пример 2.11. На координатной плоскости отмечена точка . Найти:

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора на угол вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

так как точка лежит в четверти.

При повороте радиус-вектора вокруг полюса на угол полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : , , причем — главное значение полярного угла .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты образа выражаются через полярные координаты прообраза следующими формулами:

Поэтому, учитывая пункт "а", находим (для ):

Полярная система координат — двухмерная система координат, согласно ей всякая точка на плоскости характеризуется параметрами полярного угла и полярного радиуса. К такой системе координат целесообразно обращаться тогда, когда соотношения между точками удобнее представить в виде радиусов и углов. В более широко известной, декартовой или прямоугольной системе координат, соотношения сходного рода получиться указать, лишь применив тригонометрические уравнения.

Полярная система координат формируется точкой О — полюсом, лучом Ор — полярной осью, и единичным вектором e одной направленности с лучом Ор.

Представим на плоскости точку М, не совмещающуюся с О. Местоположение точки М характеризуется параметрами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, сформированным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов берем против часов стрелки).

Параметры r и φ — полярные координаты точки М, указывают М(r; φ), при этом rполярный радиус, φ — полярный угол. При этом полярный угол учитывается в радианах.

Ссылка на основную публикацию
Удобное компьютерное кресло отзывы
В общем, надоело мне с ноутбуком на кровати валяться, спину портить. Стол есть, 74см высотой. Сейчас сижу на офисном стуле,...
Тест эксель на собеседовании
Если вы хоть раз пытались устроиться на работу или же работаете на должности, в круг обязанностей которой входит принятие людей...
Тестирование cd и dvd дисков
В этой статье я опишу программу тест Nero CD DVD Speed, которая разработана компанией "Nero Softwsre AG". С помощью программы...
Удобный сайт для просмотра фильмов
Некоторые онлайн-кинотеатры радуют лицензионными бесплатными фильмами, однако за лучший контент придётся платить. В подборке Лайфхакера — несколько хороших сервисов с...
Adblock detector