Уравнение вольтерра 2 рода примеры решения

Уравнение вольтерра 2 рода примеры решения

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) quad int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) quad int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=lambda int_0^1 (cos 2pi x +2x sin 2pi t +t sin pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-lambda int_0^1 x y(t)dt = sin 2pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = frac<1> <2>sin |x-t| quad (0 le, x,t le pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Читайте также:  Индексация данных на жестком диске

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтера 2-го рода, которое имеет вид (5). Выше отмечалось, что это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив ядро равенством

Однако, в отличие от уравнений Фредгольма, к уравнениям Вольтера принцип сжатых отображений (точнее, одно его обобщение) применим при всех значениях . Введем предварительно следующее понятие.

Определение. Пусть и — метрические пространства. Оператор , отображающий множество в пространство , называется непрерывным в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию

уравнение теорема банах интегральный

имеет место неравенство

здесь , — расстояния между элементами пространств и соответственно.

Определение. Оператор называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан.

Пусть оператор действует из в . Возьмем любой элемент . Тогда будет опять принадлежать пространству и к нему снова можно применить оператор :

Оператор, состоящий в последовательном применении дважды оператора , будем обозначать символом и называть квадратом оператора .

Аналогично, определяются операторы , и вообще любая целая положительная степень оператора .

Теорема. Пусть — такое непрерывное отображение полного метрического пространства в себя, что отображение при некотором является сжатым. Тогда уравнение имеет , и притом единственное, решение.

Доказательство. Обратимся к интегральному уравнению (5). Будем предполагать, что и что ядро непрерывно в замкнутом треугольнике

Введем оператор , определив его формулой

Нетрудно установить, что

Покажем, что — непрерывный оператор.

Пусть , — любые две функции из . Тогда

Из оценки (19) получаем, что

Возьмем любое . Тогда при из условия будем иметь

Согласно определению, это и означает, что оператор , определенный формулой (18), есть непрерывный оператор из в .

Читайте также:  Samsung galaxy watch 42 мм розовое золото

Неравенство (20) верно для любого , и, значит,

При любом значении число можно выбрать настолько большим, что

Следовательно, оператор будет сжимающим при достаточно большом . Таким образом, оператор имеет единственную неподвижную точку и, значит, уравнение Вольтера (5) при любом имеет, и притом единственное, решение. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся по схеме

где в качестве можно взять любую функцию из .

  • 3. Конкретные интегральные уравнения
  • 1. Решить интегральное уравнение

Решение. Ядро непрерывно в квадрате , причем

Далее, , , , так что , и условие , обеспечивающее сжатость отображения, здесь выполнено. Поэтому заданное интегральное уравнение может быть решено методом последовательных приближений. Положим . Тогда, согласно (17),

2. Решить интегральное уравнение

Решение. В данном случае и () непрерывны и, значит, уравнение имеет единственное решение.

Будем его искать методом последовательных приближений. Положим . Тогда получим

3. Решить уравнение Фредгольма 2-го рода:

Решение. , , , , отсюда . Зададим нулевым приближением .

Не трудно увидеть, что

4. Решить интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с точностью :

Решение. Проверим сжимаемость оператора. Так как

учтем, что , тогда

Очевидно, что функция будет иметь наибольшее значение при . Так как функция рассматривается на отрезке , то максимум будет достигаться при . Таким образом и

Зададимся нулевым приближением .

Так как продолжаем итерации.

5. Решить интегральное уравнение Вольтера 2-го рода. Интервал , с точностью :

Решение. Зададимся нулевым приближением , тогда

Тогда продолжаем итерации

Подставляя в исходное выражение, получаем

Следовательно, продолжаем итерации:

Пользуясь результатами предыдущих итераций будем иметь:

Возвращаясь к подстановке

Воспользовавшись результатами предыдущих итераций, будем иметь:

Интегральные уравнения Вольтерра как первого так и второго рода

при некоторых ограничениях можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма.

Чтобы показать это построим новое ядро

.

и запишем интегральное уравнение Фредгольма с этим ядром

.

остроим области интегрирования интегралов входящих в уравнения типа Вольтерра и Фредгольма

Читайте также:  Накрутка друзей в вк без регистрации

Ядро H(x,t) равно нулю вне заштрихованной части квадрата, по которой берётся Фредгольмовский интеграл и оба интеграла вычисляются по заштрихованной области, следовательно, они равны т.е.

Однако интегральные урравнения Вольтерра обладают свойствами характерными только для них. Для них применимы некоторые методы решения и исследования, которые не применимы или имеют существенные ограничения для уравнений Фредгольма.

Пример 1. Для интегрального уравнения Вольтерра второго рода

записать эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма.

Решение. Строим ядро

и записываем уравнение Фредгольма с этим ядром

которое и будет эквивалентным данному.

§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования

Некоторые интегральные уравнения Вольтерра, как первого, так и второго рода решаются методом дифференцирования.

Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода

Продифференцируем данное уравнение

применив правило дифференцирования интеграла по параметру x (— переменная вне интеграла).

В случае вырожденных ядер можно применить правило дифференцирования произведения, предварительно вынося множитель зависящий только от из под интеграла.

Исключая неизвестный интеграл из двух уравнений, данного и полученного после дифференцирования, получим дифференциальное уравнение первого порядка. Если после первого дифференцирования исключить интеграл от неизвестной функции не удаётся можно попытаться осуществить исключение после n-кратного дифференцирования.

Особенно метод эффективен, если после n-кратного дифференцирования удаётся производную выразить через ядро . Это легко удаётся осуществить, например, для следующих функций и др.

Пример 2. Найти решение уравнения Вольтерра второго рода

Решение. Дифференцируем данное уравнение

и решаем полученное дифференциальное уравнение

при начальном условии находим значение постоянной

Ответ:

Проверка. Найденную функцию подставляем в исходное уравнение

и вычислив интегралы, получим тождество

Следовательно, эта функция удовлетворяет заданному равнению и является его решением.

Пример 3. Найти решение уравнения Вольтерра первого рода.

.

Решение. Дифференцируем данное уравнение

и заменив неизвестный интеграл его значением из данного уравнения

найдём решение дифференциального уравнения.

Ответ: .

Проверка. Подставим полученную функцию в исходное уравнение

откуда получаем тождество

Ссылка на основную публикацию
Удобное компьютерное кресло отзывы
В общем, надоело мне с ноутбуком на кровати валяться, спину портить. Стол есть, 74см высотой. Сейчас сижу на офисном стуле,...
Тест эксель на собеседовании
Если вы хоть раз пытались устроиться на работу или же работаете на должности, в круг обязанностей которой входит принятие людей...
Тестирование cd и dvd дисков
В этой статье я опишу программу тест Nero CD DVD Speed, которая разработана компанией "Nero Softwsre AG". С помощью программы...
Удобный сайт для просмотра фильмов
Некоторые онлайн-кинотеатры радуют лицензионными бесплатными фильмами, однако за лучший контент придётся платить. В подборке Лайфхакера — несколько хороших сервисов с...
Adblock detector