Уравнение зависимости смещения от времени

Уравнение зависимости смещения от времени

Колебательное движение — периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.

Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.

Смещение х — отклонение тела от положения равновесия.

Амплитуда А — модуль максимального смещения тела.

Период колебания Т — время одного колебания:

Частота колебания

— число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.

ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:

где x(t) — смещение системы в момент t, A — амплитуда, ω — циклическая частота колебаний.

Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной — время, то получится график колебания х = x(t) — зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях — это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.

Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:

В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.

При этом полная энергия равна потенциальной энергии:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия . Следовательно:

1. Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:

При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:

Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна

Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.

2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.

Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:

Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника

Читайте также:  Тип значения характеристика 1с

получаем формулу для периода математического маятника:

Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.

Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.

Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.

Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:

Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:

Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

При гармонических колебаниях различные колебательные системы (математический и пружинный маятники) описываются одинаковыми уравнениями. Материальная точка при гармонических колебаниях проходит ряд положений, смещаясь по обе стороны от положения равновесия на равные расстояния.

Читайте также:  Как улучшить интернет на айфоне

Смещение материальной точки от положения равновесия характеризует ее положение в пространстве в конкретный момент времени (рис. 10.10). Зависимость смещения (координаты) от времени при гармонических колебаниях описывается уравнениями:

x ( t ) = x max sin ( ω t + φ 0 ) или x ( t ) = x max cos ( ω t + φ 0 ) ,

где x max — максимальное значение смещения материальной точки от положения равновесия ( амплитуда ), x max = A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для смещения материальной точки выбирают формулу

x ( t ) = x max sin ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для смещения материальной точки выбирают формулу

x ( t ) = x max cos ω t .

Смещение материальной точки:

  • в положении равновесия равно нулю: x ( t ) = 0;
  • крайнем положении равно максимальному значению — амплитуде: x ( t ) = x max = A .

Скорость материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции скорости на координатную ось, выбранную вдоль линии ее движения, от времени описывается уравнениями:

v x ( t ) = v max cos ( ω t + φ 0 ) или v x ( t ) = − v max sin ( ω t + φ 0 ) ,

где v max — максимальное значение проекции скорости ( амплитуда скорости ), v max = ω A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для проекции скорости выбирают формулу

v x ( t ) = v max cos ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для проекции скорости выбирают формулу

v x ( t ) = − v max sin ω t .

Значение скорости материальной точки:

  • в положении равновесия максимально: v ( t ) = v max = ω A ;
  • крайнем положении равно нулю: v ( t ) = 0.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции ускорения на координатную ось, направленную в сторону смещения, от времени описывается уравнениями:

a x ( t ) = − a max sin(ω t + φ 0 ) или a x ( t ) = − a max cos(ω t + φ 0 ),

где a max — максимальное значение проекции ускорения ( амплитуда ускорения ), a max = ω 2 A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для проекции ускорения выбирают формулу

a x ( t ) = − a max sin ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для проекции ускорения выбирают формулу

a x ( t ) = − a max cos ω t .

Значение ускорения материальной точки:

  • в положении равновесия равно нулю: a ( t ) = 0;
  • крайнем положении значение ускорения максимально: a ( t ) = a max = ω 2 A .

При решении задач на механические гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом материальная точка проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное положение:

  • если колебания начинаются из положения равновесия (рис. 10.11), то она последовательно перемещается из точки A в точку В , затем возвращается в точку A , после чего — в точку C , затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка A );
  • если колебания начинаются из крайнего положения (рис. 10.12), то она последовательно перемещается из точки A в точку В , затем — в точку C , после чего возвращается в точку B , затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка B ).
Читайте также:  Что должен знать хакер полный список

При механических гармонических колебаниях материальная точка:

  • за одно полное колебание проходит путь, равный четырем амплитудам:

ее фаза изменяется на величину, равную 2π:

  • за n полных колебаний материальная точка проходит путь

ее фаза изменяется на величину

Пример 7. Точка совершает колебания по закону

x ( t ) = 80,0 cos(31,4 t + 62,8),

где x — смещение в сантиметрах; t — время в секундах.

Найти фазу колебаний через 500 мс после начала процесса.

Решение . Фаза гармонических колебаний определяется формулой

где ω — циклическая частота колебаний; t — время; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Согласно условию задачи закон изменения фазы колебаний с течением времени имеет следующий вид:

φ( t ) = 31,4 t + 62,8.

Сопоставление с предыдущей формулой дает:

ω = 31,4 рад/с; φ 0 = 62,8 рад.

В указанный момент времени t = 500 мс фаза имеет значение

φ(0,5 с) = 31,4 ⋅ 500 ⋅ 10 −3 + 62,8 = 78,5 рад.

Данное значение фазы получено в Международной системе единиц, т.е. в радианах.

Пример 8. Тело совершает гармонические колебания с частотой 1 Гц и амплитудой 5 см. Рассчитать максимальное значение ускорения данного тела.

Решение . Максимальное значение ускорения определяется формулой

где ω — циклическая частота колебаний; A — амплитуда колебаний.

Амплитуда колебаний задана в условии задачи:

а циклическая частота колебаний определяется формулой

где ν — частота колебаний, ν = 1 Гц.

Подставим выражение для циклической частоты в формулу для вычисления максимального ускорения:

Вычислим, для удобства считая π 2 ≈ 10:

a max ≈ 4 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 10 −2 = 2 м/с 2 .

Максимальное значение ускорения тела при гармонических колебаниях с указанными характеристиками составляет 2 м/с 2 .

Пример 9. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 24 с. Найти минимальный интервал времени, за который точка смещается из положения равновесия на половину амплитуды.

Решение . Материальная точка начинает движение из положения равновесия. В этом случае смещение материальной точки от положения равновесия описывается законом

x ( t ) = x max sin ω t ,

где x max — максимальное значение смещения точки от положения равновесия (амплитуда гармонических колебаний), x max = A ; ω — циклическая частота колебаний; начальная фаза колебаний при таком выборе уравнения равна нулю.

В начальный момент времени t = 0 смещение материальной точки от положения равновесия также равно нулю: x (0) = 0.

Запишем данное уравнение для момента времени t = τ, когда смещение составляет половину амплитуды:

x ( τ ) = x max sin ω τ = x max 2 .

Преобразование уравнения к виду

позволяет найти минимальное значение произведения:

ω τ = arccos ( 1 / 2 ) = π / 6 .

С учетом равенства

искомый момент времени составляет

τ = T 12 = 24 12 = 2,0 с.

Следовательно, смещение материальной точки от положения равновесия на половину амплитуды произойдет через минимальный интервал времени, равный 2,0 с.

Ссылка на основную публикацию
Удобное компьютерное кресло отзывы
В общем, надоело мне с ноутбуком на кровати валяться, спину портить. Стол есть, 74см высотой. Сейчас сижу на офисном стуле,...
Тест эксель на собеседовании
Если вы хоть раз пытались устроиться на работу или же работаете на должности, в круг обязанностей которой входит принятие людей...
Тестирование cd и dvd дисков
В этой статье я опишу программу тест Nero CD DVD Speed, которая разработана компанией "Nero Softwsre AG". С помощью программы...
Удобный сайт для просмотра фильмов
Некоторые онлайн-кинотеатры радуют лицензионными бесплатными фильмами, однако за лучший контент придётся платить. В подборке Лайфхакера — несколько хороших сервисов с...
Adblock detector