Установить сходимость или расходимость ряда

Установить сходимость или расходимость ряда

Данный калькулятор предназначен для исследования ряда на сходимость. Под числовым рядом понимается сумма членов числовой последовательности следующего вида: ∑ ∞ n=1an=a1+a2+a3+…, где все a — это числа. Если говорить о функциональном ряде, то все члены последовательности являются функциями: ∑ ∞ n=1fn(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)+… Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом: ∑ ∞ n=1anx n . Чтобы найти сходимость числового ряда, функционального ряда или степенного ряда, необходимо знать признаки сходимости рядов. Существует необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑ ∞ n=1an сходится, то (lim)┬(n→∞)⁡an=0.

Однако данный признак не является гарантией сходимости ряда, поэтому рассматриваются также достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения рядов заключаются в следующем. Даны два ряда ∑ ∞ n=1an и ∑ ∞ n=1bn, при этом 0 ∞ n=1bn сходится, то также должен сходиться ряд ∑ ∞ n=1an. Если ∑ ∞ n=1an расходится, то ∑ ∞ n=1bn тоже расходится. Предельные признаки сравнения рядов состоят в следующем. Даны два ряда ∑ ∞ n=1an и ∑ ∞ n=1bn, при этом an и bn – положительны. Тогда, во-первых, если 0 ∞ n=1an сходится, если сходится ∑ ∞ n=1bn. В-третьих, если lim an/bn=∞, то ∑ ∞ n=1an расходится, если расходится ∑ ∞ n=1bn. Калькулятор поможет определить сходимость или расходимость ряда онлайн. Расшифровка ответов следующая: Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

converges — ряд сходится
not converges — ряд расходится.

Основные функции

  • : x^a

Пример 6.18. Исследовать на сходимость ряд

. (6.78)

Решение: сначала проверим необходимое условие сходимости ряда

Теперь сравним ряд (6.78) с расходящимся рядом По первому признаку сравнения имеем

Так как единица конечное число, то из расходимости ряда следует расходимость

исходного ряда (6.78).

Ответ:Исходный ряд расходится.

Пример 6.19. Исследовать на сходимость ряд

.(6.79)

Решение:Проверим необходимое условие сходимости, пользуясь правилом Лопиталя

Теперь пользуемся достаточным признаком Даламбера

Так как , то по признаку Даламбера ряд (6.79) сходится.

Ответ:Исходный ряд сходится.

Пример 6.20. Исследовать на сходимость ряд .

Решение:Применим достаточный признак Коши

Так как то по признаку Коши исходный ряд сходится.

Ответ:Исходный ряд сходится.

Пример 6.21. Исследовать на сходимость ряд

(6.80)

Решение:Применим интегральный признак Коши – Маклорена

Так как конечное число, то несобственный интеграл сходится. По признаку Коши – Маклорена ряд (6.80) сходится.

Ответ:Исходный ряд сходится.

Пример 6.22. Исследовать на сходимость ряд с произвольными членами

. (6.81)

Решение:Применим достаточный признак Дирихле. Заметим, что последовательность монотонно убывая, стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда ограничена

.

По признаку Дирихле исходный ряд (6.81) сходится.

Ответ:Исходный ряд сходится.

Пример 6.23. Найти радиус абсолютной сходимости ряда

(6.82)

и исследовать его сходимость на концах области сходимости.

Решение:по формуле Даламбера

.

Тогда ряд (6.82) сходится при или . При имеем ряд ,

который сходится по достаточному признаку Лейбница. При имеем ряд , который расходится по интегральному признаку Коши – Маклорена. На самом деле, имеем

Ответ: Ряд сходится при

Пример 6.24. Найти радиус абсолютной сходимости ряда Тейлора для

.

Решение:По формуле (6.61) имеем

.

Ответ:

Пример 6.25. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

при .

Решение:Так как , то . Легко убедиться, что в этой точке имеет максимум и .

Составим сходящийся ряд . Очевидно, что и ряд является мажорантом для исходного функционального ряда. Тогда по достаточному признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится.

Ответ:Исходный ряд равномерно сходится.

Пример 6.26. Найти сумму ряда

. (6.83)

Решение:По формуле Даламбера для нахождения радиуса абсолютной сходимости степенного ряда имеем

.

Значит ряд (6.83) сходится при . Заметим, что дифференцируя почленно степенной ряд внутри своей области сходимости , получим ряд (6.83). Но по формуле суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической

прогрессии. Следовательно, имеем

.

Ответ:

Пример 6.27. Найти область абсолютной сходимости ряда

. (6.84)

Решение:Найдем радиус абсолютной сходимости ряда (6.84) по формуле Даламбера

Следовательно, интервал абсолютной сходимости ряда (6.84) определяется неравенством . Исследуем сходимость ряда (6.84) на концах интервала. При из (6.84) получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При из (6.84) получаем знакочередующийся ряд , который абсолютно не сходится, но сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда (6.84) определяется неравенством .

Ответ:Исходный ряд абсолютно сходится при

Ряды Фурье.

Определение 6.16.Функция f(x) называется периодической, если есть постоянное число такое, что для любого из области определения функции . При этом называется периодом функции . Периодические функции играют исключительную роль в биологических, химических, физических, экономических явлениях и в технике. Достаточно вспомнить любые ритмы в жизни животных, человека, растений, астрономии. Труднее назвать непериодические явления, чем периодические.

Оказалось, как заметил Фурье, многие периодические функции можно представить в виде бесконечной суммы вида (тригонометрический ряд):

(6.85)

Эта сумма называется рядом Фурье, а коэффициенты , и вычисляются для функции с периодом по формулам

(6.86)

Если функцию можно представить в виде бесконечного ряда (6.85), т.е. разложить в ряд Фурье, то такое разложение единственно.

В целях простоты изложения теоретических вопросов разложения функции в ряд Фурье предположим, что период рассматриваемой функции . Тогда для такой функции ряд (6.85) принимает вид:

, (6.87)

(6.88)

При вычислении коэффициентов Фурье полезно иметь ввиду, что если под интегралом в симметричных пределах от до стоит четная функция, то интеграл в два раза больше интеграла в пределах от до , а если нечетная функция, то он равен нулю. Ниже рассмотрим эти два случая.

1. функция четная.

(6.89)

2. функция нечетная.

(6.90)

Пример 6.28. Разложить в ряд Фурье функцию на

Решение: , так как под интегралом стоит нечетная функция , а интеграл от нечетной функции на отрезке, симметричном относительно начала координат, равен нулю (см. (6.90)). Аналогично При вычислении коэффициентов нужно учитывать (6.89). Итак, имеем

(6.91)

Тогда, согласно (6.87), получим

Ответ:

На вопрос, какую функцию можно разложить в ряд Фурье, отвечает теорема Дирихле.

Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. равномерно ограничена, то есть

при

2. имеет не более, чем конечное число точек разрыва, и все они первого рода (т.е. в каждой точке разрыва функция имеет конечный левый предел и конечный правый предел .

| следующая лекция ==>
Степенные ряды. Радиус сходимости. | имеет конечное число точек экстремума.

Дата добавления: 2018-11-25 ; просмотров: 3553 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

— нажимаем кнопку "Сумма ряда"

Получаем результат как на странице n/(n^3-n^2-1)

По данной ссылке вы увидете следующие интересные данные:

Тэги: ряд сходимость

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Ссылка на основную публикацию
Удобное компьютерное кресло отзывы
В общем, надоело мне с ноутбуком на кровати валяться, спину портить. Стол есть, 74см высотой. Сейчас сижу на офисном стуле,...
Тест эксель на собеседовании
Если вы хоть раз пытались устроиться на работу или же работаете на должности, в круг обязанностей которой входит принятие людей...
Тестирование cd и dvd дисков
В этой статье я опишу программу тест Nero CD DVD Speed, которая разработана компанией "Nero Softwsre AG". С помощью программы...
Удобный сайт для просмотра фильмов
Некоторые онлайн-кинотеатры радуют лицензионными бесплатными фильмами, однако за лучший контент придётся платить. В подборке Лайфхакера — несколько хороших сервисов с...
Adblock detector